به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
129 بازدید
در دبیرستان توسط Taha1381
ویرایش شده توسط Taha1381

ثابت کنید $ \sum\limits_{cyc}^{} {\frac{a}{b+c}}\ge 2 $.وقتی که متغیر های $a,b,c,d$ موجود است.

سپس ثابت کنید تساوی تنها زمانی برقرار است که$a=b=c=d$

منظور از سوال اثبات این نامساوی است:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b} \ge 2$

خوب بعد دو روز تونستم نامساوی رو اثبات کنم:

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c}=\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{ab+ac} $

با استفاه از کوشی داریم:

$\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{ab+ac} \ge \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}=\frac{(a+b+c+d)^2}{(a+c)(b+d)+2ac+2bd}$

حال کافی است ثابت کنیم عبارت اخر بزرگتر مساوی دو است.که نتیجه می دهد:

$(a+b+c+d)^2=(a+c)^2+(b+d)^2+2(a+c)(b+d) \ge 4ac +4bd+2(a+c)(b+d)$

که چون داریم$(x+y)^2 \ge 4xy$ نامساوی اخر بدیهی است پس داریم:

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c} \ge 2$

حال کافی است ثابت کنیم تساوی تنها زمانی برقرار است که$a=b=c=d$.

توسط kazomano
متغیرها باید نامنفی باشند.

میشه فقط با استفاده نامساوی واسطه حسابی هندسی مسئله رو حل کرد
توسط Taha1381
بله متغیر ها نامنفی هستند.چه طور میشه با حسابی-هندسی اثبات کرد؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط kazomano
انتخاب شده توسط Taha1381
 
بهترین پاسخ
$( \frac{a}{b+c} + \frac{c}{d+a} )+( \frac{b}{c+d} + \frac{d}{a+b} )=( \frac{ a^{2} +ad+bc+ c^{2} }{(b+c)(a+d)} )+( \frac{ b^{2} +ab+cd+ d^{2} }{(c+d)(a+b)} )$ $ \frac{(b+c)+(a+d)}{2} \geq \sqrt{(b+c)(a+d)} \longrightarrow \frac{1}{(b+c)(a+d)} \geq \frac{4}{ (a+b+c+d)^{2} } $

پس

$ebarat \geq 4( \frac{a^{2} +ad+bc+ c^{2} }{(a+b+c+d)^{2}} )+4( \frac{b^{2} +ab+cd+ d^{2}}{ (a+b+c+d)^{2}} )= \frac{2}{ (a+b+c+d)^{2}} ( (a+b+c+d)^{2}+ (a-c)^{2} + (b-d)^{2} ) \geq 2 $
توسط Taha1381
خوب مشکل اصلی اینه که حالت تساوی رو اثبات کنیم که فقد در اون حالت اتفاق می افته.
توسط kazomano
از راه حل واضحه که حالت تساوی در حالت تساوی متغیرها رخ میده و نیاز به اثبات نداره.
توسط Taha1381
بله اما منظور من گزاره تنها اگر هست.به نظر من کلی عدد هستند که حالت تساوی را تشکیل می دهند.
توسط kazomano
چندتا عدد مثال بزنید که باهم مساوی نباشن و تساوی رو نتیجه بدن

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...