به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
275 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

سلامی دوباره به دوستان .سوالی داشتم در مورد دستگاه جامع جبری . دستگاه جامع جبری یا جبر جامع یا به اختصار جبر نیز مینامیم از یک مجموعه زمینه چون$A$ و مجموعه ای چون $F=( \lambda ^A)_ {\lambda \ \in \Omega } $ از تعدادی عمل n-تایی $ \lambda ^A:A^n_ {\lambda } \rightarrow A $ تشکیل شده است در این صورت خانواده ی $ \tau =(n_{ \lambda })_ {\lambda \in{ \Omega }}$ از اعداد را نشان جبر یا نوع جبر گوییم .

توجه کنید که $ \Omega $ مجموعه ای است که$ \lambda $ ها در آن تغییر می کند

سوالم اینه که مجموعه ی $F$ راستش با نماد گذاری های که تو این تعریف شده مشکل دارم .!!!!

زیاد نمیتونم درکش کنم . با تشکر .

دارای دیدگاه توسط
مشخص است که پیرامون درس «جبر جامع» پرسش دارید و ساختارهای جبری ولی اصطلاح‌هایی که به کار بردید نوعی تازگی دارد، آيا کتاب فارسی جدیدی این اصطلاح‌ها را استفاده کرده‌است مانند «دستگاه جامع جبری» یا «نشان جبر»؟
دارای دیدگاه توسط
+1
@AmirHosein
البته من کاملا متن رو ننوستم ..الان ویرایش میکنم متن کاملو که از کتاب مبانی جبر نوشته ذکتر محمد مهدی ابراهیمی آورده ام

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

یک جبر در واقع یک مجموعه به همراه چند عمل است. از جبر یک کارشناسی تعریف یک عمل دوتایی را به یاد آورید. یک عمل دوتایی روی مجموعهٔ $A$ یک نگاشت از $A\times A$ به $A$ بود که خوش‌تعریف و تابع باشد. $$\cdot\;:\;A\times A\longrightarrow A$$ به جای حرف‌ها از نمادهایی مانند $\cdot$، $+$، $\star$ و ... برای یک عمل دوتایی استفاده می‌کردیم. به جای $f(a,b)$ از $a\cdot b$ کمک می‌گرفتیم. خوش‌تعریف بودن یعنی واقعا هر عضو از $A\times A$ را به عضوی از $A$ ببرد. پس یعنی دامنه‌اش همهٔ $A\times A$ باشد و بردش داخل $A$ قرار بگیرد. برای نمونه تقسیم دو عدد حقیقی از $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}$ خوش‌تعریف نیست پس یک عمل دوتایی روی $\mathbb{R}$ نمی‌باشد. تابع بودن نیز همان تابع بودن مبانی ریاضی و ریاضی عمومی است یعنی $$\forall (a,b),(c,d)\in A\times A\;:\;(a,b)=(c,d)\Longrightarrow a\cdot b=c\cdot d$$ اما چرا می‌گوئسم عمل دوتایی و به عدد ۲ تأکید می‌کنیم؟ اگر عمل‌ها همگی عمل دوتایی می‌بودند نیازی به آوردن «دوتایی» پشت‌بند «عمل» نمی‌بود. در واقع برای هر عدد حسابی (اعداد حسابی، اجتماع اعداد طبیعی با تک‌عضوی صفر است) مانند $n$، عمل $n$-تایی قابل تعریف است. برای هر $n\in\mathbb{N}$، $A^n$ را همان حاصلضرب دکارتی $A$، $n$-بار در خودش تعریف کنید و برای $n=0$، $A^0$ را تک‌عضوی $\{\emptyset\}$ قرار دهید. می‌توانید به جای $\emptyset$ هر چیز دیگری که دوست دارید بگذارید، تنها مهم این است که $A^0$ تک‌عضوی باشد. علت اینکه ریاضی‌دان‌ها با $\{\emptyset\}$ راحت‌تر هستند این است که ساده‌ترین مجموعهٔ تک‌عضوی که از دید منطق پ نظریهٔ مجموعه‌ها می‌توان ساخت، مجموعهٔ توانیِ مجموعهٔ تهی است. یک یک عمل $n$-تایی یک نگاشت از $A^n$ به $A$ است که خوش‌تعریف و تابع باشد. برای $n=0$، یعنی یک نگاشت از یک تک‌عضوی به $A$ که خوش‌تعریفی‌اش یعنی آن یک عضو را به عضوی از $A$ ببرد و تابع‌بودنش یعنی دقیقا تنها یک عضو از $A$. پس یک عمل صفرتایی چیزی نیست به جز انتخاب یک عضو از $A$. یک عمل یک‌تایی (اینجا است که اهمیت نیم‌فاصله در نوشتار فارسی دیده می‌شود، یک‌تایی یک واژه است پس نباید از فاصلهٔ کامل بین دو قسمتش استفاده شود و گر نه معنا تغییر کرده و منظور یک عدد از تایی که حال معلوم نیست تایی چه باشد، همین‌گونه نباید آنها را چسباند زیرا یکتا نیز معنایی دیگر دارد و عمل یکتا یعنی تنها عملی که وجود دارد، که این نیز مفهوم یکسانی نیست) یک تابع از $A$ به خودش است.

در یک میدان $F$ در جبر یک دو تابع دوتایی $+$ و $\cdot$ معرفی می‌کردید و سپس چند شرط می‌گذاشتید متناظر به رفتار اعضای $F$ نسبت به این دو عمل. دو شرط مربوط به عنصرهای همانی و دوشرط مربوط به عضوهای وارون می‌بودند. به زبان جبر یک، مجموعهٔ $F$ به همراه دو عمل دوتایی $+$ و $\cdot$ یک میدان می‌بود اگر $$\begin{array}{l} \exists 0\in F\;\text{s.t.}\; \forall a\in F\; :\; a+0=0+a=a\\ \exists 1\in F\;\text{s.t.}\; \forall a\in F\; : \; a\cdot 1=1\cdot a=a\\ \forall a\in F\; \exists -a\in F\;\text{s.t.}\; a+(-a)=(-a)+a=0\\ \forall a\in F\; \exists a^{-1}\in F\;\text{s.t.}\; a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\\ \vdots \end{array}$$ اما به زبان جبر جامع خلاصه‌تر و به شکل زیر می‌شود. یک مجموعهٔ $F$ به همراه دو عمل دوتایی $+$ و $\cdot$ و دو عمل یک‌تایی $-()$ و $()^{-1}$ و دو عمل صفرتایی $0$ و $1$ یک میدان است هرگاه $$\begin{array}{l} \forall a\in F\; :\; a+0=0+a=a\\ \forall a\in F\; : \; a\cdot 1=1\cdot a=a\\ \forall a\in F\; : \; a+(-a)=(-a)+a=0\\ \forall a\in F\; : \; a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\\ \vdots \end{array}$$ نوشتن شرط‌ها با زبان جبرجامع کوتاه‌تر می‌شود ولی نمایش خود ساختار جبری بلندتر می‌شود.

یک میدان به زبان جبر یک، $(F,+,\cdot)$ و به زبان جبرجامع $(F,+,\cdot,-,^{-1},0,1)$ است.

تعریف جبر این است؛ یک مجموعه به همراه خانواده‌ای از عمل‌ها و احتمالا با چند قانون. در مورد میدان، مجموعه‌مان $F$ است و خانوادهٔ عمل‌هایمان ${+,\cdot,-,^{-1},0,1}$ است. اگر این خانواده را با $\mathcal{F}$ نمایش دهیم یعنی $\mathcal{F}:={+,\cdot,-,^{-1},0,1}$، آنگاه می‌توانیم میدانمان را با $(F,\mathcal{F})$ نیز نمایش دهیم ولی زمانیکه $\mathcal{F}$ متناهی است، ترجیح به نوشتن خود اعضای $\mathcal{F}$ است یعنی همان $(F,+,\cdot,-,^{-1},0,1)$. به هر عمل $n$-تایی یک عدد یعنی خود $n$ نسبت داده‌می‌شود و چندتایی بودن عمل نام دارد. پس چندتایی بودن عمل جمع در میدان ۲ است. به یک خانواده از عمل‌های چندتایی، یک خانواده از عددهای حسابی می‌توان نسبت داد به این شکل که چندتایی بودن عمل‌های آن را به همان ترتیب می‌آوریم. برای میدان، برابر می‌شود با $(2,2,1,1,0,0)$. به این خانواده از عددهای حسابی، نوعِ ساختار جبری‌مان گفته می‌شود پس میدان یک جبر از نوعِ $(2,2,1,1,0,0)$ است.

یک نمونه جبر که نمایش جبرجامعی‌اش کمی خلاقیت دارد، مدول‌ها هستند. اگر حلقهٔ اسکالرهای مدول را ثابت بگیرید یعنی فقط $R$-مدول‌های چپ برای یک حلقهٔ $R$ ثابت را ببینیم آنگاه یک جبر داریم. $M$ یک $R$-مدول چپ، یک جبر از نوع ${2,1,0,1,1,1,\cdots}$ است (که یک‌های آخر متناظر به عناصر $R$ آورده‌شده‌اند). در واقع جمع مدولی یک عمل دوتایی و قرینه نسبت به جمع مدولی یک عمل یک‌تایی و عنصر صفر مدول یک عمل صفرتایی است و به جای آوردن یک تابع برای ضرب اسکالری برای هر عنصر $r\in R$، یک عمل ی‌تایی از $M$ به $M$ داریم که $m$ را به $rm$ می‌برد. اگر $R$ ناشمارا باشد دیگر از نمایش دنباله‌ای نمی‌توان برای نمایش نوع این جبر استفاده کرد برای همین از نمایش‌های خانواده‌ای کمک گرفته‌می‌شود برای نمونه بیایید مجموعهٔ $\Omega$ را اجتماع $R$ با مجموعه‌ای شامل سه عنصر خارج از $R$ مانند $a_1,a_2,a_3$ تعریف کنید و اکنون یک خانواده با مجموعهٔ اندیس‌گذار $\Omega$ به نام $\tau$ تعریف کنید که اعضایش را با $n_\alpha$ نمایش می‌دهیم و عبارت‌اند از: $$\begin{array}{lr} & n_{a_1}=2\\ & n_{a_2}=1\\ & n_{a_3}=0\\ \forall r\in R\,: & n_{r}=1 \end{array}$$ در اینصورت یک $R$-مدول چپ یک جبر از نوع $\tau$ است.

یک نمونهٔ دیگر از جبر، نیمگروه‌ها هستند. نیمگروه تنها یک عمل دوتایی دارد و دیگر عمل یک‌تایی یا صفرتایی ندارد. یک تکواره که یک نیمگروه به همراه عضو همانی است تنها یک عمل دوتایی و یک عمل صفرتایی است و عمل یک‌تایی ندارد.

دارای دیدگاه توسط
@AmirHosein
سلام وقت بخیر . میشود مجموعه اعداد حقیقی را با تمام اصول با این روش بنویسید خیلی ممنون از سایت خوبتون .
دارای دیدگاه توسط
@Traid سایت برای من نیست، از @admin تشکر کنید.
خب $\mathbb{R}$ با چه ساختاری؟ شما در دیدگاهتان فقط گفته‌اید مجموعهٔ اعداد حقیقی. مجموعه به تنهایی یعنی یک گردایه و عمل و ساختاری رویش نگرفته‌اید. ولی برای نمونه اگر می‌گفتید میدان اعداد حقیقی یا اعداد حقیقی با ساختاری میدانی رایجش، آنگاه دقیقا در پاسخ برای یک میدان دلخواه را به عنوان مثال آورده‌ام، شما مجموعهٔ پس‌زمینه و عمل جمع و ضرب و قرینه و وارون و یک و صفر میدان را با متناظرشان برای میدان اعداد خقیقی جایگذاری کنید. اگر هم ساختاری بیشتر یا کمتر از آن در مورد اعداد حقیقی می‌خواهید باز دوباره همین بحث است. روی یک مجموعه می‌توانید ساختارهای متفاوتی بگذارید. همین اعداد حقیقی می‌تواند، نیم‌گروه، تکواره، گروه، حلقه، میدان، میدان مرتب، ... باشد. پس ابتدا باید مشخص کنید چه ساختاری مدنظرتان است و سپس اگر متن را خوانده‌باشید چیز مبهمی برای نوشتن نمایش جبر جامعی‌اش نیست.
دارای دیدگاه توسط
@AmirHosein
همین که زحمت میکشید جواب میدهید ممنونم . در کتابا آنالیز ریاضی . در مبحث اعداد حقیقی . اعداد حقیقی رو با اصول و دو عمل  دوتایی تعریف میکنند . و اینکه عمل دوتایی یعنی یک تابع به صورت $+:\mathbb{R}\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ حالا این اصول رو در نظر بگیرید $ \forall a,b,c \in \mathbb{R} :(a+b)+c=(a+c)+b$ در اینجا سه تا شی داریم که دارن جمع میشوند ولی در تابع دوتایی دو شی از مجموعه میگیرد و یک شی میدهید . این چگونه است ؟
دارای دیدگاه توسط
@Tarid شرکت‌پذیری یک ویژگی (خاصیت) است نه یک عمل. در تعریف تابع در پاسخ بالا اگر نگاه کنید، شما یک نمایش جبر جامعی می‌دهید که مجموعهٔ پس‌زمینه و عمل‌ها را در یک پرانتز نشان می‌دهد و سپس باید چندتایی بودن عمل‌ها را بگوئید و سپس ویژگی‌ها را نیز فهرست کنید. تازه باید عمل‌ها و مجموعه‌ای که در پرانتز گذاشته‌اید را پیش‌تر معرفی کرده‌باشید.
اما اینکه $(a+b)+c$ یعنی چه؟ پاسخ این است که این نماد یعنی ابتدا $a+b$ را محاسبه می‌کنید، حاصل هر چه بود را که یک عنصر است با $c$ جمع کنید. این کار با یک عمل دوتای انجام شدنی است، زیرا در هر مرحله تنها دو عنصر را دارید جمع می‌کنید. اگر شما ویژگی شرکت‌پذیری را برای یک عمل دوتایی نداشته‌باشید، همیشه باید پرانتزها را بگذارید، چون تغییر ترتیب پرانتزها حاصل را تغییر می‌دهد و همین‌طور اگر پرانتزها را طوری بگذارید که بیشتر از دو عنصر را بگیرد، عبارت بی‌معنایی نوشته‌اید. ولی اگر عمل دوتایی‌تان ویژگی شرکت‌پذیری را داشته‌باشد آنگاه هر جور که دو تا دوتا جمع کنید با هر ترتیبی پرانتزگذاری معنادارانجام دهید، حاصل آخر یکی خواهد شد بنابراین پس از اینکه دانستید عمل دوتایی‌تان شرکت‌پذیری دارد می‌توانید از پرانتز‌گذاری صرف‌نظر کنید.
دارای دیدگاه توسط
@AmirHosein
بسیار ممنون از پاسخ شیواتون .
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...