به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
85 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mohammad.gh

فرض کنیم $k$ یک میدان دلخواه و $A$ یک $k$-جبر باشد. نگاشت $i:Hom(A,k) \rightarrow spec A$ را با ضابطه $\varphi \rightarrow ker( \varphi )$ در نظر بگیرید. چون $k$ یک میدان است، بنابراین $ker( \varphi )$ یک ایده‌آل اول است و بوضوح این نگاشت خوش تعریف است. نشان دهید نگاشت $i$ یک به یک است؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

یک $k$ -جبر را همیشه می‌توان به شکل خارج قسمت یک حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها نوشت. در واقع اگر $K$ یک $k$ -جبر با یک مولد متناهی، برای نمونه $n$ عضوی باشد آنگاه $K$ یکریخت $k$ -جبری است با $\dfrac{k[x_1,\cdots,x_n]}{I}$ به ازای یک $I$ . اگر هم نامتناهی باشد آنگاه باید در نمادگذاری مراقب باشید برای نمونه فرض کنید یک مولد برای آن $A$ ، یک مجموعه با عدد اصلی دلخواه باشد آنگاه $K\cong\dfrac{k[x_a|a\in A]}{I}$ . تصویر یک $k$ -همریختی جبری همواره با مشخص کردن اثرش روی عناصر یک مولد آن که متعالی باشد به شکل یکتا مشخص می‌شود. پس کافیست بدانیم اثر $\phi$ روی $x_i$ ها چه می‌شود. هستهٔ یک $k$ -همریختی جبری از $\dfrac{k[x_i|i]}{I}$ به $k$ برابر می‌شود با ایده‌آل $\dfrac{\langle x_i-\phi(x_i)|i\rangle}{I}$ که دقیقا چون بوسیلهٔ عامل‌های $x_i-\phi(x_i)$ تعریف می‌شود از روی خود همریختی به طور یکتا معین می‌شود یعنی دو $k$ -همریختی جبری از یک $k$ -جبر به میدان زمینه‌اش یعنی $k$ هرگز هستهٔ یکسان نخواهند داشت. این هسته‌ها ایده‌آل بیشینه و در نتیجه ایده‌آل اول نیز هستند پس عضو $Spec(K)$ می‌شوند. در نتیجه تایعی که در پرسش تعریف کرده‌اید خوش‌تعریف و یک به یک است.

اما اگر در حال فکر کردن به این هستید که بیایید $Spec(K)$ را با این مجموعه یکی بگیرید درست نیست چون تابعتان پوشا نمی‌شود. حتی اگر به جای $Spec(K)$ به $\mathcal{m}-spec(K)$ مجموعهٔ ایده‌آل‌های بیشینهٔ $K$ هم‌دامنه را کاهش دهید نیز پوشا نخواهد شد مگر اینکه میدان زمینه بستهٔ جبری باشد.

دارای دیدگاه توسط mohammad.gh
ویرایش شده توسط mohammad.gh
چرا هسته‌ی یک $k$ همریختی جبری از$ \dfrac{k[x_i|i]}{I}$به $k$ ایده‌آل  
$\dfrac{\langle x_i-\phi(x_i)|i\rangle}{I}$ می‌شود؟
آیا می‌توان برای هر $k$همریختی جبری مانند      $ \varphi:A\rightarrow B$  هسته‌ی آن را مانند بالا نوشت؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ابتدا باید نمایش خارج قمستی $A$ از یک حلقهٔ چندجمله‌ای با تعداد متغیر برابر با درجهٔ تعالی $A$ را بدست آورید (که در پاسخ اشاره شده‌است)، سپس تعریف هسته را بنویسید.

اگر نمی‌دانید چرا یک $k$-جبر دارای چنین نمایشی است، می‌توانید در قالب یک پرسش جدا بپرسید.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...