به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
62 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

اگر برای تابع مشتقپذیر $f:\mathbb R\to \mathbb R$ داشته باشیم $\lim_{x\to \infty}f(x)+f'(x)=l\in\mathbb R$ ثابت کنید $\lim_{x\to \infty}f(x)=l$ و $\lim_{x\to \infty}f'(x)=0$ .

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)e^x}{e^x}$$

در اینجا داریم $\lim_{x\to \infty}e^x=\infty$ و $(e^x)'=e^x\neq 0$ برای هر $x$ و

$$\lim_{x\to \infty}\frac{(f(x)e^x)'}{(e^x)'}=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)e^x+f(x)e^x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}f(x)+f'(x)$$

که طبق فرض موجود است. پس می توانیم از قاعده هوپیتال استفاده کنیم(در واقع در قاعده هوپیتال می بایست حد صورت و مخرج هر دو صفر شود یا هردو بی نهایت شود ولی می توان نشان داد که اگر فقط حد مخرج بی نهایت شود باز هم می توان از قاعده هوپیتال استفاده کرد. به عنوان مثال به اثبات قضیه هوپیتال در ویکی پدیای انگلیسی نگاه کنید.)

از هوپیتال داریم

$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)e^x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{(f(x)e^x)'}{(e^x)'}=l$$

و لذا باید $\lim_{\to\infty}f'(x)=0$ .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...