به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
79 بازدید
در دانشگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

اگر برای تابع مشتقپذیر $f:\mathbb R\to \mathbb R$ داشته باشیم $\lim_{x\to \infty}f(x)+f'(x)=l\in\mathbb R$ ثابت کنید $\lim_{x\to \infty}f(x)=l$ و $\lim_{x\to \infty}f'(x)=0$ .

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط fardina
$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)e^x}{e^x}$$

در اینجا داریم $\lim_{x\to \infty}e^x=\infty$ و $(e^x)'=e^x\neq 0$ برای هر $x$ و

$$\lim_{x\to \infty}\frac{(f(x)e^x)'}{(e^x)'}=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)e^x+f(x)e^x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}f(x)+f'(x)$$

که طبق فرض موجود است. پس می توانیم از قاعده هوپیتال استفاده کنیم(در واقع در قاعده هوپیتال می بایست حد صورت و مخرج هر دو صفر شود یا هردو بی نهایت شود ولی می توان نشان داد که اگر فقط حد مخرج بی نهایت شود باز هم می توان از قاعده هوپیتال استفاده کرد. به عنوان مثال به اثبات قضیه هوپیتال در ویکی پدیای انگلیسی نگاه کنید.)

از هوپیتال داریم

$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)e^x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{(f(x)e^x)'}{(e^x)'}=l$$

و لذا باید $\lim_{\to\infty}f'(x)=0$ .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...