به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
82 بازدید
در دبیرستان توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

مجموعه ی $ A $ از عددهای طبیعی تشکیل شده است و می دانیم در میان هر $100 $ عدد طبیعی متوالی، عضوی از $ A$ پیدا می شود. ثابت کنید می توان چهار عدد مختلف مانند $ a, b, c, d $ در مجموعه $ A$ پیدا کرد به طوری که $a+b=c+d $

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm

چون $ A \subseteq N $ لذا میتوان اعضای مجموعه ی $ A $ را مرتب کرد فاصله ی هر دو عضو متوالی از $ A $ از 100 کمتر است چون اگر بیشتر باشد بین آن دو حداقل $100$ عدد طبیعی وجود دارد اما عنصری از $A $ وجود ندارد.

چون تعداد عناصر $ A $ نامتناهی است و مقدار تفاضلات متناهیه، لذا حداقل مقدار دو تا از این تفاضلات برابر هستند فرض کنید داشته باشیم: $$ b_{1} - a_{1}= b_{2} - a_{2} \Rightarrow b_{1} +a_{2}= b_{2} + a_{1}$$

توسط zh
+1
در فرض مسئله اشاره ای به نا متناهی بودن مجموعه نکرده. اگه متناهی باشه چی؟؟
توسط erfanm
همین که گفته در هر $100$ عدد طبیعی متوالی عضوی از $A$ وجود دارد یعنی نامتناهی است.
اگر بگوید $A$ متناهی است شرایط سوال فراهم نمیشود چون میتوان $100$ عدد طبیعی متوالی یافت که عضوی از $A$ درشون وجود ندارد.(بزرگترین عضو $A$ را در نظر میگیریم $100$ عدد بزرگتر از اون مثال تقض میشود)

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...