به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
77 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mohammad.gh
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

فرض کنیم $A$ یک $k$-جبر با در جه تعالی $n$ باشد. نشان دهید اگر $n$ متناهی باشد آنگاه $A$ یکریخت با $\dfrac{k[x_1,\cdots,x_n]}{I}$ برای یک $I$ دلخواه است؟(k را میدان در نظر بگیرید)

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

نخست اینکه $I$ در پرسشتان نمی‌تواند دلخواه باشد بلکه باید می‌نوشتید برای یک $I$-ِ مناسب.

دوم اینکه نمی‌توانید همواره تعداد متغیرها در نمایش به کمک چندجمله‌ای‌ها برای $k$-جبرتان را برابر درجهٔ تعالی حلقه‌تان بگیرید مگر اینکه $k$-جبرتان یکریخت با حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها شود!

فرض کنید $A$ یک $k$-جبر باشد. بعلاوه فرض کنید یک مولد $n$ عضوی که $n$ متناهی است مانند $\lbrace a_1,\cdots,a_n\rbrace$ داشته‌باشد. برای حالت نامتناهی حکم مشابه داریم که تنها باید در نوشتن (نمادگذاری‌ها) دقت کنید. چون متن پرسش شما حالت متناهی را می‌خواهد، ما نیز با فرض متناهی جلو می‌رویم.

چون $A$، $k$-جبر است پس اعضای $k$ را باید داشته باشد. بعلاوه اعضای مولد نیز باید درونش باشند پس تمام ضرب‌ها و جمع‌ها و ترکیبات $k$-جبری $a_i$ها باید درون $A$ باشند. بعلاوه چون $a_i$ها، $A$ را تولید کرده‌اند پس تمام عناصرش به شکل ترکیب‌های اینها هستند و چیزی به غیر از آنها ندارد.

اکنون همریختی $k$-جبری $\phi:k[x_1,\cdots,x_n]\rightarrow A$ را اینگونه تعریف کنید که روی $k$ همانی عمل کند، $x_i$ها را به $a_i$ها ببرد و روی یک چندجمله‌ای دلخواه نسبت به ضرب اسکالری و ضرب متغیرها و جمع باز شود. چون هر ترکیب $k$-جبری از $a_i$ها را می‌توان با کمک جایگذاری‌شان به جای متغیرها در یک چندجمله‌ای $n$-متغیره تولید کرد، $\phi$ پوشا است. بنا به قضیهٔ اول یکریختی برای $k$-جبرها تصویر یک $k$-همریختی جبری که در اینجا $A$ است یکریخت با خارج قسمت دامنه بر هستهٔ این همریختی می‌شود. ایده‌آل $I$ای که دنبالش می‌بودید، این هسته است (نه هر ایده‌آل دلخواهی!).

اکنون اگر $n$، یعنی تعداد عناصر مجموعهٔ مولدمان برابر درجهٔ تعالیِ $A$ می‌شد آنگاه این مجموعه یک مجموعهٔ متعالی می‌بود. متعالی بودن آن این معنی رو می‌داد که هیچ ترکیب $k$-جبری آنها برابر صفر نشود یا به عبارت دیگر هیچ چندجمله‌ای $n$-متغیره‌ای با ضرایب از $k$ یافت نشود که با جایگذاری اعضای مجموعه‌مان به جای متغیرهایش، حاصل صفر شود. و این یعنی هستهٔ همریختی‌ای که برای نمایش چندجمله‌ای‌وار اعضای $A$ استفاده کردیم صفر است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...