به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
111 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

سلام؛ عبارت زیر را چطور می توان تجزیه کرد؟ $$a{b^2} + {a^2}b + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2} + 2abc$$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

$a{b^2} + {a^2}b + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2} + 2abc=(a^2b+ab^2)+(bc^2+ac^2)+(a^2c+acb)+(b^2c+abc)$

$=ab(a+b)+c^2(a+b)+ac(a+b)+bc(a+b)$

$=(a+b)(c(c+a)+b(c+a))=(a+b)(b+c)(a+c)$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

چون عبارت درجه ۳ است یا به صورت حاصلضرب دو عبارت که یکی درجه ۲ و دیگری درجه ۱ است تجزیه می شود یا به صورت حاصلضرب ۳ عبارت درجه ۱.

چون عبارت نسبت به $a$و$b$و$c$ متقارن است یا هر پرانتز خود باید متقارن باشد یا پرانتز ها باید نسبت به هم متقارن باشند.

اگر عبارت به صورت حاصلضرب دو پرانتز درجه ۱و۲ تجزیه شود دو پرانتز نمی توانند نسبت به هم متقارن باشند چون یکی درجه ۱ است و دیگری درجه ۲. پس هر پرانتز متقارن است.تنها عبارت درجه ۱ متقارن عبارت $a+b+c$ است که مجموع ضرایب ان $3$ است.چون مجموع ضرایب کل عبارت ۸ است عبارت درجه دو باید ضریب $\frac{8}{3}$ را دارا باشد که چون همهی ضرایب این عبارت اعدادی طبیعی هستند یک تناقض به حساب می اید.

پس عبارت به صورت حاصلضرب سه پرانتز درجه ۱ تجزیه می شود.هر سه پرانتز نمی توانند خود متقارن باشند چون تنها عبارت متقارن درجه ۱ $a+b+c$ است که در ان صورت مجموع ضرایب ۲۷ می شود.پس پرانتز ها نسبت به هم متقارن هستند.چون پرانتز ها نسبت به هم متقارن هستند پس ضریب هر کدام برابر است یعنی ضریب هر کدام برابر ۲ است.اولین حدسی که می توان زد این تجزیه است:

$(a+b)(b+c)(a+c)$

البته می توان عبارت را دسته بندی کرده و فاکتور گیری کنیم البته با این راه راحتر می توان تجزیه را یافت راه فاکتور گیری را در قالب پاسخ دیگری خواهم نوشت.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...