به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
90 بازدید
در دبیرستان توسط A Math L
برچسب گذاری دوباره توسط A Math L

اگر $a>0$ و چند جمله ای درجه دوم

$$P(x)=ax^2+bcx+b^3+c^3-4abc$$

ریشه حقیقی نداشته باشد . نشان دهید دقیقاً یکی از چند جمله ای های زیر همواره مثبت است:

$ P_{1} (x)=ax^2+cx+b$ ،, $ P_{2} (x)=ax^2+bx+c$

توسط fardina
من الان توجه کردم که شما یک برچسب "چند" تولید کردید!
کسایی که امتیازشون به 1000 میرسه میتونن برچسب تولید کنن. مواظب باشید برچسب اشتباهی تولید نکنید و لطفا این برچسب رو حذف کنید.
توسط A Math L
عذررمیخوام  .  مشکل حل شد ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط A Math L
 
بهترین پاسخ

اینکه $P(x)$ ریشه حقیقی ندارد یعنی $\Delta$ آن منفی خواهد بود پس: $$(bc)^2-4a(b^3+c^3-4abc)< 0\tag{*}\label{*}$$

حال به برهان خلف فرض کنیم $P_1,P_2$ ریشه داشته باشند پس $\Delta$ ی هر دوی آنها باید بزرگتر مساوی صفر باشد یعنی $$b^2-4ac\geq 0\\ c^2-4ab\geq 0$$ با ضرب این دو در هم خواهیم داشت: $$(bc)^2-4a(b^3+c^3-4abc)\geq 0$$ که با $\eqref{*}$ در تناقض است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...