به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
153 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط fardina (15,321 امتیاز)

ثابت کنید چنانچه $f:\mathbb R\to \mathbb R$ اکیدا صعودی و پوشا باشد آنگاه یک همئومورفیسم است(یعنی یک دو سویی بوده و خودش و وارونش پیوسته خواهند شد)

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (10,165 امتیاز)
انتخاب شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

پوشایی را که دارید. به خاطر افزایشیِ یکنوا بودنش، یک به یک نیز است. پس دو سویی بودن را داریم. چون یک تابع افزایشی یکنوای حقیقی که روی کل اعداد حقیقی تعریف شده‌باشد، ناپیوستگی‌هایش از نوع پرشی است، که باعث ناپوشایی نیز می‌شود، تابع‌تان پیوسته است. اکنون توجه کنید که وارون یک تابع افزایشی یکنوا، نیز افزایشی یکنوا است. به دلیل دوسویی بودن تابع‌تان، وارونش کل دامنهٔ تابع اولیه را می‌پوشاند که در اینجا $\mathbb{R}$ است و وارون، پوشا می‌شود. چون وارون‌تان نیز افزایشی یکنوا و پوشا و تعریف شده بر روی کل اعداد حقیقی است، پیوسته نیز می‌شود. پس یک وابرریختی دارید.

+1 امتیاز
توسط fardina (15,321 امتیاز)

روش دیگر به کمک تعریف پیوستگی:

دوسویی بودن واضح است کافی است نشان دهیم تابع $f$ پیوسته است چون $f^{-1}$ شرایط مشابه $f$ دارد.

فرض کنید $x_0$ نقطه ای دلخواه باشد و $(y_1,y_2)$ بازه ای دلخواه شامل $f(x_0)$ . در اینصورت از پوشایی نقاط $x_1,x_2$ موجودند که $f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2$ در اینصورت برای هر $x\in(x_1,x_2)$ داریم $f(x)\in (f(x_1),f(x_2))=(y_1,y_2)$ لذا پیوسته است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...