به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
90 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

نشان دهید هر تابع پیوسته روی R تابع بالایی است

دارای دیدگاه توسط
بالایی یعنی چی؟
دارای دیدگاه توسط
باید توی سوال می نوشتم تابع بالایی.
اما تعریفش اینه که f تابع بالایی است هرگاه تابع پله ای مانندQ وجود داشته  باشد که Qمیل کند بهf (ت.ه) و حد انتگرال Q متناهی باشد
دارای دیدگاه توسط
لطفا سوالتون رو ویرایش کنید.
و دامنه و برد تابع و سایر جزییات رو دقیق بنویسید.
دارای دیدگاه توسط
سوال همینه جزییاتی نداره
ولی اگه کمکی میکنه دامنه رو [a,b] و برد رو R در نظر بگیرید
وتابع بالایی رو نسبت به اندازه لبگ بر [a,b]

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

متاسفانه سوال رو با جزییات توضیح ندادید. و تعریف تابع بالایی رو کامل و درست نگفتید. تابع $f:X\to \mathbb R$ را یک تابع بالایی گوییم هرگاه دنباله ای از توابع پله ای مانند $\phi_n$ موجود باشد که $\phi_n \uparrow f$ تقریبا همه جا و $\lim \int \phi_n< \infty$ .(کتاب Aliprantis رو ببینید)

سوال شما یکی از تمرینات کتاب هست که باید ذکر میکردید و در قسمت مرجع سوال اشاره میکردید.

چون $f:[a, b]\to \mathbb R$ پیوسته است و $[a, b]$ فشرده پس پیوسته یکنواخت است.(پس توجه کنید ذکر این مطلب که دامنه بازه بسته $[a, b]$ است خیلی کمک می کند)

بنابر تعریف پیوستگی یکنواخت $$\forall \epsilon>0\exists \delta(\epsilon)>0: |x-y|< \delta(\epsilon)\implies |f(x)-f(y)|< \epsilon\tag{*}\label{*}$$ پس برای هر $n\in\mathbb N$ با قرار دادن $\epsilon=\frac 1n>0$ یک $\delta_n>0$ موجود است که اگر $|x-y|< \delta_n$ آنگاه $|f(x)-f(y)|< \frac 1n$ .

حال بازه ی $[a, b]$ را به زیر بازه های $I_1, I_2,..., I_m$ به گونه ای تقسیم کنید که طول هر بازه کمتر از $\delta_n$ باشد. یعنی برای هر $x,y\in I_k$ داشته باشیم $|x-y|< \delta_n$ . در واقع انگار افراز $P=(x_0=a,x_1,...,x_n=b)$ را از بازه ی $[a, b]$ در نظر میگیریم که داشته باشیم $|x_i-x_{i-1}|< \delta_n$

حال تابع $\phi_n$ را به صورت زیر تعریف کنید: $$\phi_n(x)=\begin{cases}\min_{x\in I_k}f(x)&x\in I_k\\ 0&x\notin [a, b]\end{cases}$$ توجه کنید که چون $f$ پیوسته است و بازه های $I_k=[x_{k-1}, x_k]$ فشرده هستند پس مینیمم وجود دارد.

حال چنانچه $x\in [a, b]$ در اینصورت به ازای $k$ی داریم $x\in I_k$ لذا $$|\phi_n(x)-f(x)|=|\min_{x\in I_k}f(x)-f(x)|\stackrel{\eqref{*}}< \epsilon$$

یعنی $\phi_n$ به طور یکنواخت به $f$ همگراست و به علاوه بنابر نحوه ساخت که به صورت مینیمم تعریف کردیم لذا $\phi_n\leq f$

از طرفی چون $f$ پیوسته است و $[a, b]$ فشرده پس بیشترین مقدار خود را اختیار می کند لذا کراندار است یعنی $|f(x)|\leq M\in \mathbb R^+$ بنابر این $\int\phi_n\leq M(b-a)$ لذا $\lim\int \phi_n< \infty$

بنابراین $f$ تابع بالایی است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...