به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
91 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

اگر $ x_{k} $ یک دنباله نزولی از اعداد مثبت باشد نشان دهید که اگر$ \sum_1^ \infty x_{k} $ همگرا باشد آنگاه $ \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k} .k=0 $

مرجع: کتاب آنالیز حقیقی بارتل و شربرت
دارای دیدگاه توسط
خوب راهنمای تایپ ریاضی رو بخونید سوالتون رو ویرایش کنید ببینیم چی نوشتید!
دارای دیدگاه توسط
برای راهنمای تایپ باید کجا برویم؟؟
دارای دیدگاه توسط
به محفل ریاضی خوش آمدید.
همینجا سمت چپ میبینید نوشته راهنمای تایپ؟
موقع پرسش سوال هم باید دیده باشید.
http://math.irancircle.com/index.php?qa=tag&qa_1=راهنمای-تایپ
دارای دیدگاه توسط
@malihe شما دو مطلب را به عنوان هرزنامه نشانه گذاری کردید.
وقتی شما این نشانه گذاری را انجام میدید به همه مدیران سایت اطلاع داده می شود که مطلب بدی در سایت منتشر شده. ولی هیچ کدام از مطالبی که شما نشانه گذاری کردید هرزنامه محسوب نمی شدند. و فقط وقت چند تا از مدیر ها تلف شد. لطفا به درستی از این گزینه استفاده کنید.
دارای دیدگاه توسط
ببخشید من اطلاعی از این موضوع نداشتم و ناخواسته اون علامت ها را تیک زده بودم به خاطر این کارم عذرخواهی میکنم

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

استفاده از تراکم کوشی. چون سری همگراست پس سری $ \sum_1^ \infty 2^{k} x_{ 2^{k}} $ همگراست بنابراین $ \lim_{k \rightarrow \infty } 2^{k} x_{ 2^{k}}=0 $ با توجه به نزولی بودن دنباله برای $ 2^{k} \leq n \leq 2^{k+1} $ داریم $ 2^{k} x_{ 2^{k+1}} \leq n x_{n} \leq 2^{k+1}x_{ 2^{k}} $ بنابراین $ \lim_{k \rightarrow \infty } k x_{k} =0$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

این یک قضیه مشهور به نام قضیه پرینگسهایم(pringsheim) می باشد. گیریم $ x_{k}= a_{n} $ و $k=n$ باشد. فرض کنیم $ S_{n} = a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} $ با توجه به فرض وجود داردAبه طوری که $ \sum_1^ \infty a_{n} =A $ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty }S_{2n} =A$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{2n} - S_{n} =0$. حال توجه می کنیم که $ S_{2n} - S_{n} = a_{n+1} + a_{n+2} +...+ a_{2n} \geq a_{2n} + a_{2n} +...+ a_{2n} $ بنابراین $0 \leq n a_{2n} \leq S_{2n} - S_{n}$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{2n}=0$ حال دقت میکنیم که $ a_{2n+1} \leq a_{2n} \Rightarrow 0 \leq (2n+1) a_{2n+1} \leq( \frac{2n+1}{2n} )(2n a_{2n} ) $ پس $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ پس ثابت کردیم که


1- $ \lim_{n \rightarrow \infty } 2n a_{2n}=0$ 2- $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{n}=0$

اثباتی که ارائه شد به نظرم ساده ترین اثبات موجوده. این اثبات از کتاب آنالیز ریاضی گلدبرگ نوشته شد. البته اثباتهای دیگه ای هم وجود داره.

دارای دیدگاه توسط
اثبات دیگه ای هم در کتاب آنالیز ریاضی مصاحب وجود داره که جالبه.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...