به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
148 بازدید
در دانشگاه توسط malihe (163 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ x_{k} $ یک دنباله نزولی از اعداد مثبت باشد نشان دهید که اگر$ \sum_1^ \infty x_{k} $ همگرا باشد آنگاه $ \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k} .k=0 $

مرجع: کتاب آنالیز حقیقی بارتل و شربرت
توسط fardina (15,326 امتیاز)
خوب راهنمای تایپ ریاضی رو بخونید سوالتون رو ویرایش کنید ببینیم چی نوشتید!
توسط malihe (163 امتیاز)
برای راهنمای تایپ باید کجا برویم؟؟
توسط admin (1,502 امتیاز)
به محفل ریاضی خوش آمدید.
همینجا سمت چپ میبینید نوشته راهنمای تایپ؟
موقع پرسش سوال هم باید دیده باشید.
http://math.irancircle.com/index.php?qa=tag&qa_1=راهنمای-تایپ
توسط admin (1,502 امتیاز)
@malihe شما دو مطلب را به عنوان هرزنامه نشانه گذاری کردید.
وقتی شما این نشانه گذاری را انجام میدید به همه مدیران سایت اطلاع داده می شود که مطلب بدی در سایت منتشر شده. ولی هیچ کدام از مطالبی که شما نشانه گذاری کردید هرزنامه محسوب نمی شدند. و فقط وقت چند تا از مدیر ها تلف شد. لطفا به درستی از این گزینه استفاده کنید.
توسط malihe (163 امتیاز)
ببخشید من اطلاعی از این موضوع نداشتم و ناخواسته اون علامت ها را تیک زده بودم به خاطر این کارم عذرخواهی میکنم

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط kazomano (2,379 امتیاز)
انتخاب شده توسط malihe
 
بهترین پاسخ

استفاده از تراکم کوشی. چون سری همگراست پس سری $ \sum_1^ \infty 2^{k} x_{ 2^{k}} $ همگراست بنابراین $ \lim_{k \rightarrow \infty } 2^{k} x_{ 2^{k}}=0 $ با توجه به نزولی بودن دنباله برای $ 2^{k} \leq n \leq 2^{k+1} $ داریم $ 2^{k} x_{ 2^{k+1}} \leq n x_{n} \leq 2^{k+1}x_{ 2^{k}} $ بنابراین $ \lim_{k \rightarrow \infty } k x_{k} =0$

+1 امتیاز
توسط kazomano (2,379 امتیاز)

این یک قضیه مشهور به نام قضیه پرینگسهایم(pringsheim) می باشد. گیریم $ x_{k}= a_{n} $ و $k=n$ باشد. فرض کنیم $ S_{n} = a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} $ با توجه به فرض وجود داردAبه طوری که $ \sum_1^ \infty a_{n} =A $ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty }S_{2n} =A$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{2n} - S_{n} =0$. حال توجه می کنیم که $ S_{2n} - S_{n} = a_{n+1} + a_{n+2} +...+ a_{2n} \geq a_{2n} + a_{2n} +...+ a_{2n} $ بنابراین $0 \leq n a_{2n} \leq S_{2n} - S_{n}$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{2n}=0$ حال دقت میکنیم که $ a_{2n+1} \leq a_{2n} \Rightarrow 0 \leq (2n+1) a_{2n+1} \leq( \frac{2n+1}{2n} )(2n a_{2n} ) $ پس $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ پس ثابت کردیم که


1- $ \lim_{n \rightarrow \infty } 2n a_{2n}=0$ 2- $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{n}=0$

اثباتی که ارائه شد به نظرم ساده ترین اثبات موجوده. این اثبات از کتاب آنالیز ریاضی گلدبرگ نوشته شد. البته اثباتهای دیگه ای هم وجود داره.

توسط kazomano (2,379 امتیاز)
اثبات دیگه ای هم در کتاب آنالیز ریاضی مصاحب وجود داره که جالبه.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...