به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
124 بازدید
در دانشگاه توسط malihe
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ x_{k} $ یک دنباله نزولی از اعداد مثبت باشد نشان دهید که اگر$ \sum_1^ \infty x_{k} $ همگرا باشد آنگاه $ \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k} .k=0 $

مرجع: کتاب آنالیز حقیقی بارتل و شربرت
توسط fardina
خوب راهنمای تایپ ریاضی رو بخونید سوالتون رو ویرایش کنید ببینیم چی نوشتید!
توسط malihe
برای راهنمای تایپ باید کجا برویم؟؟
توسط admin
به محفل ریاضی خوش آمدید.
همینجا سمت چپ میبینید نوشته راهنمای تایپ؟
موقع پرسش سوال هم باید دیده باشید.
http://math.irancircle.com/index.php?qa=tag&qa_1=راهنمای-تایپ
توسط admin
@malihe شما دو مطلب را به عنوان هرزنامه نشانه گذاری کردید.
وقتی شما این نشانه گذاری را انجام میدید به همه مدیران سایت اطلاع داده می شود که مطلب بدی در سایت منتشر شده. ولی هیچ کدام از مطالبی که شما نشانه گذاری کردید هرزنامه محسوب نمی شدند. و فقط وقت چند تا از مدیر ها تلف شد. لطفا به درستی از این گزینه استفاده کنید.
توسط malihe
ببخشید من اطلاعی از این موضوع نداشتم و ناخواسته اون علامت ها را تیک زده بودم به خاطر این کارم عذرخواهی میکنم

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط kazomano
انتخاب شده توسط malihe
 
بهترین پاسخ

استفاده از تراکم کوشی. چون سری همگراست پس سری $ \sum_1^ \infty 2^{k} x_{ 2^{k}} $ همگراست بنابراین $ \lim_{k \rightarrow \infty } 2^{k} x_{ 2^{k}}=0 $ با توجه به نزولی بودن دنباله برای $ 2^{k} \leq n \leq 2^{k+1} $ داریم $ 2^{k} x_{ 2^{k+1}} \leq n x_{n} \leq 2^{k+1}x_{ 2^{k}} $ بنابراین $ \lim_{k \rightarrow \infty } k x_{k} =0$

+1 امتیاز
توسط kazomano

این یک قضیه مشهور به نام قضیه پرینگسهایم(pringsheim) می باشد. گیریم $ x_{k}= a_{n} $ و $k=n$ باشد. فرض کنیم $ S_{n} = a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} $ با توجه به فرض وجود داردAبه طوری که $ \sum_1^ \infty a_{n} =A $ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty }S_{2n} =A$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_{2n} - S_{n} =0$. حال توجه می کنیم که $ S_{2n} - S_{n} = a_{n+1} + a_{n+2} +...+ a_{2n} \geq a_{2n} + a_{2n} +...+ a_{2n} $ بنابراین $0 \leq n a_{2n} \leq S_{2n} - S_{n}$ پس $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{2n}=0$ حال دقت میکنیم که $ a_{2n+1} \leq a_{2n} \Rightarrow 0 \leq (2n+1) a_{2n+1} \leq( \frac{2n+1}{2n} )(2n a_{2n} ) $ پس $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ پس ثابت کردیم که


1- $ \lim_{n \rightarrow \infty } 2n a_{2n}=0$ 2- $ \lim_{n\rightarrow \infty } (2n+1)a_{2n+1}=0$ بنابراین $ \lim_{n \rightarrow \infty } n a_{n}=0$

اثباتی که ارائه شد به نظرم ساده ترین اثبات موجوده. این اثبات از کتاب آنالیز ریاضی گلدبرگ نوشته شد. البته اثباتهای دیگه ای هم وجود داره.

توسط kazomano
اثبات دیگه ای هم در کتاب آنالیز ریاضی مصاحب وجود داره که جالبه.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...