به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
287 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

حد مقابل را اثبات کنید وقتی که n به سمت بی نهایت میل کند $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n} } }=e\ $$

دارای دیدگاه توسط
لطفا برای تایپ سوالتان راهنمای تایپ ریاضی را مطالعه کنید
دارای دیدگاه توسط
چندان دشوار نیست. یه نامساوی چهارتایی معروف بیت لیمیت سوپ و اینف جذر nام هست که باید از اون استفاده کنی.وقت کردم جوابو می نویسم. راه دیگه قضیه استولز.

3 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

می توانید از فرمول تقریب استرلینگ استفاده کنید: $$(n!)^{\frac 1n}\sim \frac ne(2\pi n)^\frac{1}{2n}$$

به عبارت دیگر $$\frac{n}{(n!)^{\frac 1n}}\sim \frac{e}{(2\pi n)^{\frac 1{2n}}}$$

حال چنانچه از اینکه $\lim_{n\to \infty}n^{\frac 1n}=1$ و $\lim_{n\to \infty}(a)^{\frac 1n}=1$ ($a>0$) استفاده کنیم داریم $\lim_{n\to \infty}\frac{n}{(n!)^{\frac 1n}}=e$

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

ابتدا فاکتوریل را به تابع گاما تبدیل کنید. سپس از هوپیتال و بسط تابع دایگاما استفاده کنید.

دارای دیدگاه توسط
توضیحات بالا، هم ارزی دو تابع زیر را در $x \to \infty $ اثبات می کند که در این مورد و موارد مشابه به سادگی می توان استفاده کرد.
$$\frac d {dx} \ln x! \cong \ln x $$
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

می دانیم برای هر دنباله $ \lbrace a_{n} \rbrace $ با جملات مثبت همواره داریم:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \inf \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \leq \lim_{n \rightarrow \infty } \inf \sqrt[n]{ a_{n} } \leq \lim_{n\rightarrow \infty } \sup \sqrt[n]{ a_{n} } \leq \lim_{n \rightarrow \infty } \sup \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } $$


قرار می دهیم $ a_{n} = \frac{ n^{n} }{n!} $ به راحتی داریم $ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n}}=e $

بنابراین:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{ \sqrt[n]{n!} } =e$$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...