به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
221 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

مطلوب است محاسبه حد زیر

$ \lim_{x \to \infty } ( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{ x^{a} + x^{2} } )^{x-[x]} $

به طوری که $a \in (0,2)$

دارای دیدگاه توسط
سلام. من صبح این سوال رو حل کرده بودم منتهی فرصت نشد جواب کامل رو بزارم انشالله میزارم در اولین فرصت.

این حد به ازای $a=\frac 43$ دارای حده و حدش صفر میشه و در نقاط دیگه a حد نامتناهی داره.

البته با هم ارزی خیلی راحت جوابش به دست نمیاد و من از راه حل معمولی و مزدوج گیری استفاده کردم. نمیدونم شاید هم جایی دقت نکرده باشم و حد به جای صفر عدد دیگه ای به دست میاد ولی مطمئنم فقط در یک مقدار a حد داره ولی در مقادیر دیگه نه. دوستان دیگه نظر بدن

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
$$\begin{align}f(x)\\ &=(x^{(\dfrac{2}{3})} \sqrt[3]{1+4 x^{a-2}} - x^{(\dfrac{2}{3})}\sqrt[3]{1+ x^{a-2} } )^{x-\lfloor x\rfloor}\\ &=x^{ (\dfrac{2(x-\lfloor x\rfloor)}{3}) } (\sqrt[3]{1+4 x^{a-2}} - \sqrt[3]{1+ x^{a-2} } )^{x-\lfloor x\rfloor}\\ &=x^{(\dfrac{2(x-\lfloor x\rfloor)}{3} )} (1+(\dfrac{4 x^{a-2}}{3})+O(x^{a-3}) - (1+ \dfrac{x^{a-2}}{3}+O(x^{a-3})) )^{x-\lfloor x\rfloor}\\ &=x^{\dfrac{2(x-\lfloor x\rfloor)}{3}} ( x^{a-2}+O(x^{a-3} ))^{x-\lfloor x\rfloor}\\ &=x^{(x-\lfloor x\rfloor)(\dfrac{3a-4}{3})} ( 1+O(x^{-1} ))^{x-\lfloor x\rfloor}\end{align}$$

$ \bullet $ : در خط اول از$x^2$ فاکتور میگیریم .

$ \bullet $ : در خط سوم از بسط دو جمله ایی نیوتن استفاده میکنیم .

$ \bullet $ : در خط پنجم از$x^{a-2}$ فاکتور میگیریم .

حال همینطور که مشخص است اگر $a =\dfrac{4}{3}$ حاصل برابر یک خواهد بود زیرا :

$$x^{(x-[x])(\dfrac{3a-4}{3})}=1$$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

ابتدا حد $\sqrt[3]{4 x^{a}+ x^{2} }- \sqrt[3]{ x^{a}+ x^{2} }$ محاسبه می‌کنیم. برای سادگی قرار می‌دهیم $p(x)=4 x^{a}+ x^{2} $و $q(x)= x^{a}+ x^{2}$ حال داریم $$ \sqrt[3]{p(x)} - \sqrt[3]{q(x)}= \frac{p(x)-q(x)}{ \sqrt[3]{ p^{2} (x)}+ \sqrt[3]{p(x)q(x)} + \sqrt[3]{q^{2} (x)} } $$ حال داریم : $$ \sqrt[3]{p(x)} - \sqrt[3]{q(x)}= \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} $$ که $$h(x)= \sqrt[3]{ (1+4 x^{a-2} )^{2} } + \sqrt[3]{1+5 x^{a-2}+4 x^{2a-4} }+ \sqrt[3]{(1+ x^{a-2} )^{2}} $$ حال چون $a<2$ داریم :

$ \lim_{x \rightarrow \infty } h(x)=3$ بنابراین می‌توان نوشت : $$ \lim_{x \rightarrow \infty } \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{x^{a} + x^{2}}= \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} $$

حال اگر $\dfrac{4}{3}<a<2$ آن‌گاه حد برابر $+\infty $ اگر $a= \frac{4}{3} $ آن‌گاه حد برابر $1$ و اگر $0<a< \frac{4}{3} $

آن‌گاه حد برابر صفر است. حال می‌توان نوشت :

$$\lim_{x \rightarrow \infty } ( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{x^{a} + x^{2}})^{x-[x]}= \lim_{x \rightarrow \infty } e^{(x-[x])\ln( \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} )}$$

حال قرار می‌دهیم $$g(x)=(x-[x])\ln( \frac{3 x^{a- \frac{4}{3} } }{h(x)} )$$

اگر $ \frac{4}{3} <a<2$ با انتخاب دنباله‌های $x_{k} =k, y_{k} =k+ \frac{1}{2} $ داریم :

$g( x_{k} )=0,g( y_{k} ) \rightarrow + \infty$ چرا که $y_{k}\rightarrow \infty ,h( y_{k} )\rightarrow \infty $

حالت $0<a< \frac{4}{3} $ به صورت مشابه حد وجود ندارد.

تنها $a= \frac{4}{3} $ باقی می‌ماند که داریم :

$g(x)=(x-[x])\ln( \frac{3 }{h(x)} ) \longrightarrow 0 $ چرا که صفر ضربدر کراندار برابر صفر است پس حد تنها در این حالت وجود دارد و برابر 1 است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...