به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
489 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ f,g $ توابع اندازه پذیر باشد در مورد مجموعه های زیر چه می توان گفت؟

  1. $A= \big\{x|f(x)=g(x)\big\} $
  2. $ B= \big\{x|f(x)>g(x)\big\} $
  3. $ C= \big\{x|f(x) \neq g(x)\big\} $
  4. $ D= \big\{x|f(x)< g(x)\big\} $

تلاش برای حل: آیا برای حل میتوان از جمع و تفریق ترکیب توابع که سوالش مطرح شده در سایت استفاده کرد.چطور؟

توسط admin
+1
لطفا فقط یک سوال مطرح کنید.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

ابتدا نشان می دهیم که $ \{x:f(x)< g(x)\} $ اندازه پذیر است. فرض کنید $Q=\{r_k\}_1^\infty $ شمارشی از اعداد گویا باشد در اینصورت: $$ \begin{align}\{x:f(x) >g(x)\}&=\bigcup_k\{x: f(x) > r_k >g(x)\}\\ &=\bigcup_k\big( \underbrace{\{x:f(x)>r_k\}}_{measurable} \cap \underbrace{\{x: g(x)< r_k\}}_{measurable} \big) \end{align}$$

لذا $\{x:f(x)> g(x)\} $ اندازه پذیر است.

برای $ \{x:f(x)< g(x)\}$ همان حالت بالاست.

برای $\{x:f(x)=g(x)\} $ برابر متمم $\{x:f(x)>g(x)\} $ اجتماع $\{x:f(x)< g(x)\} $ است که چون این دو مجموعه اندازه پذیرند لذا اندازه پذیری $\{x:f(x)=g(x)\} $ نتیجه می شود.

برای $ \{x:f(x)\neq g(x)\} $ برابر اجتماع $\{x:f(x)>g(x)\} $ و $\{x:f(x)< g(x)\} $ است.

توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
+1
تعریف اندازه پذیری یک تابع مگه چیه؟ مگر غیر از اینه که $f$ اندازه پذیر است اگروتنها اگر به ازای هر $a\in\mathbb R$ مجموعه $f^{-1}(a,\infty)=\{x:f(x)> a\}$ اندازه پذیر باشد? و یا اگر وتنها اگر $f^{-1}(-\infty, a)=\{x: f(x)< a\}$ اندازه پذیر باشد.( برای دیدن چند شرط معادل اندازه پذیری به اینجا رجوع کنید:http://math.irancircle.com/index.php?qa=43&qa_1=&show=45#a45 )
پس اندازه پذیری $f,g$ اندازه پذیری مجموعه های $\{x:f> a_k\},\{x: g> a_k\}$ را برای هر $k$نتیجه می دهند.
سوال بعدیتونو متوجه نشدم.$ \mathbb Q$ یک مجموعه شماراست پس میتونیم به صورت $\{r_k\}_{k\in\mathbb N}$ نمایش دهیم.
توسط
+1
آهان متوجه شدم.از راهنمایی بی دریغتون واقعا ممنونم
توسط
+1
همیشه متمم یک مجموعه ی اندازه پذیر,  اندازه پذیره؟
اگه سوالام از دیدتون بدیهی هستش منو ببخشید,ولی دوست ندارم مطلبی رو بدون اینکه کامل درک کنم بپذیرم
توسط fardina
+1
خواهش میکنم. کار خوبی میکنید میپرسید.
تعریف سیگماجبر چیه؟ سیگماجبر تحت متمم و اشتراک شمارا بسته است. تحت متمم بسته است یعنی اگر $E$ اندازه پذیر باشد آنگاه متممش $E^c$ نیز اندازه پذیر است.
توسط رها
+1
سپاسگزارم. انقدر درگیر قسمتای مختلف سوالای آنالیز شدم,تعریف اولیه اندازه فراموشم شد.آنالیز درس سنگینیه.
بازم ممنون

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...