به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
94 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط hvl145
ویرایش شده توسط saderi7

ثابت کنید : اگر$ a,b,c \geq 1$ بزرگتر یا مساوی یک باشند رابطه زیر برقرار است :$$\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} < \sqrt{abc+c}$$

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@hvl145 چرا نصف پرسش را در عنوان و نیمی دیگر را در متن نوشته‌اید؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

ابتدا ما تعریف میکنیم : $$\sqrt{a-1}=x \ \ , \ \ \sqrt{b-1}=y \ \ , \ \ \sqrt{c-1}=z$$ در نتیجه خواهیم داشت :

$$a=x^2+1 \ \ ,\ \ b=y^2+1 \ \ , \ \ c=z^2+1$$

حال باید ثابت کنیم که :

$$x+y+z\le\sqrt{(z^2+1)\left(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+1\right)}$$ $$ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\le(z^2+1)\left((x^2+1)(y^2+1)+1\right)$$

$$ \Leftrightarrow 0 \le z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+x^2y^2-2xy+2$$ $$ \Leftrightarrow 0\le z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+(xy-1)^2+1$$

حال اگر نامساوی زیر را ثابت کنیم . اثبات تمام شده است .

$$A:=z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+1\ge 0$$

برای اثبات نامساوی بالا میدانیم که $A$ یک عبارت درجه دو بر حسب $z$ است که ضریب $z^2$ یعنی $(x^2+1)(y^2+1)$ همواره مثبت است .

و اینکه :

$$ \Delta=(x+y)^2-4(x^2+1)(y^2+1)(1) =-4(xy-1)^2\le0$$

نامساوی اثبات شد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...