به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
291 بازدید
در دانشگاه توسط خسروی (-10 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

$R$ را یک حلقه و $I$ و $J$ را دو ایده‌آل از آن بردارید. ثابت کنید مجموعهٔ $I\colon J=\lbrace r\in R\mid rJ\subseteq I\rbrace$ یک ایده‌آل از $R$ می‌شود.

توسط fardina (15,261 امتیاز)
+1
جبر جابجایی یک برچسب هست که انتخاب کردید و نباید در عنوان سوال قرار بگیره چون ممکنه سوالات زیادی در مورد جبر جابجایی پرسیده بشه اگر قرار باشه همه ی سوال ها عنوانشون جبرجابجایی باشه بعدا چطور این سوالات از هم تفکیک بشن و با جست و جو پیدا بشن؟
لطفا راهنمای تایپ رو ببینید:
http://math.irancircle.com/52
http://math.irancircle.com/56
http://math.irancircle.com/8627
توسط AmirHosein (9,934 امتیاز)
@خسروی به دیدگاه‌های زیر پست‌هایتان اصلا توجه نکردید، این پست‌تان را ویرایش کردم. سایر پست‌هایتان هم همینطوری رها کرده‌اید، اگر پرسشی برایتان ارزش ندارد آن را پست نکنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط farshchian2090 (1,140 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

ابتدا مجموعه $(I:J)$ را تعریف می کنیم:

$$ (I:J)=\{ r \in R | rJ \subseteq I \}=\{ r \in R | rb \in I ,\forall b \in J \} $$

نشان می دهیم این مجموعه ایده آلی از حلقه R است. لذا دو چیز را باید ثابت کرد:

1- به ازای هر $ r,s \in (I:J) $ داشته باشیم $r-s \in (I:J)$

2- به ازای هر $r \in R$ و هر $s \in (I:J)$ داشته باشیم $rs, sr \in (I:J)$

برای اثبات قسمت اول چون $r,s \in (I:J)$ لذا طبق تعریف داریم $rb , sb \in I, \forall b \in J$ چون I ایده آل است پس $rb-sb \in I $ و یا $(r-s)b \in I$ و لذا $(r-s) \in (I:J)$

برای اثبات قسمت دوم توجه میکنیم که $s \in (I:J)$ باز بنا به تعریف نتیجه می شود که به ازای هر $b \in J$ داریم $sb \in I$ چون I یک ایده آل است پس به ازای هر $r \in R$ داریم $(rs)b = r(sb) \in I$ پس $rs \in (I:J)$ همچنین از آنجاکه $sb \in I$ و I ایده آل است می توان نوشت $(sr)b = s(rb) \in I$ زیرا $b \in J$ و J ایده آل است و لذا $rb \in J$ برای هر $r \in R$ و بنابراین حکم بالا صادق است و لذا $sr \in (I:J)$

و حکم ثابت است. $\Box$

توسط AmirHosein (9,934 امتیاز)
@farshchian2090 البته شما از ایده‌آل منظورتان ایده‌آلِ دوطرفه است و برای همین شرط دوم را از دو سمت بررسی کردید، برای ایده‌آل یک‌طرفه نیازی به بررسی هر دوی $rs$ و $sr$ نیست. از طرف دیگر اگر حلقه را جابجایی بگیرید (که از اینکه پرسش مربوط به درس جبرجابجایی بوده‌است خیلی دور از ذهن نیست) آنگاه چون $rs=sr$، بررسی یکی از $(rs)J\subseteq I$ یا $(sr)J\subseteq I$ دیگری را نیز نتیجه می‌دهد. به هر حال خوب نوشتید ۱+.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...