به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
112 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط hvl145
ویرایش شده توسط fardina

لطفا معادله زیر را حل کنید: $$8t^3-6t+1=0$$

دارای دیدگاه توسط fardina
لطفا عنوان مناسب بنویسید. ممکنه سوالات زیادی در مرد حل معادله باشه و مطمینا خوب نیست همه بنویسن معادله زیر را حل کنید. تایپ ریاضی رو هم یاد بگیرید در قسمت راهنمای تایپ. و برچسب مناسب انتخاب کنید. نمیدونم این سوال چه ربطی به ریاضیات گسسته داشت که به عنوان برچسب انتخاب کرده بودید. ممنون.
دارای دیدگاه توسط hvl145
چشم خیلی ممنون برای توضیحاتتون
دارای دیدگاه توسط hvl145
خیلی ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

قرار دهید $x=2t$ داریم $x^3-3x+1=0$

با مقایسه کردن جملات بالا با جملات $(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$ چنانچه بتوانیم $u,v$ ی پیدا کنیم که $x=u+v$ در اینصورت $$\begin{cases}-3uv=-3\implies u^3v^3=1\\ u^3+v^3=-1\end{cases}$$

اما $u^3,v^3$ ریشه های معادله درجه دوم $y^2-(u^3+v^3)y+u^3v^3=0$ یعنی $y^2+y+1=0$ هستند که با حل آن داریم: $$u^3=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3=e^{\frac{2\pi}3i}$$

بنابراین $$u=e^{\frac{2\pi}9i},e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ و چون $uv=1$ پس $$v=\frac 1u=e^{\frac{-2\pi}9i},e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ بنابراین $$x=u+v=e^{\frac{2\pi}9i}+e^{\frac{-2\pi}9i}=2\cos \frac{2\pi}9$$ و $$ x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3) $$ و $$x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$ ریشه های معادله ی $x^3-3x+1=0$ هستند و چون $x=2t$ پس کافی است ریشه های به دست آمده را بر $2$ تقسیم کنید تا ریشه های معادله خواسته شما به دست آیند یعنی: $$t=\cos \frac{2\pi}9, \cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3), \cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$

دارای دیدگاه توسط fardina
البته این روش به رو کاردانو معروف بوده و میتونید در موردش در اینجا مطالعه کنید: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Cardano.27s_method
دارای دیدگاه توسط hvl145
خیلی ممنون

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...