به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
75 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

اگر تابع هایی به صورت $y=x^3-(m+2)x^2+3x$ دارای دو نقطه اکسترمم باشندآنگاه مجموع طول های این نقاط در کدام بازه نیست؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

برای یافتن اکسترمم ها از تابع مشتق میگیریم.

$$ y = x^3 - (m+2)x^2 + 3x $$ $$ y' = 3x^2 - (2m + 4)x + 3 $$

از آنجایی که ریشه های مشتق نقاط اکسترمم خواهند بود پس مشتق حتما دارای دو ریشه است. پس می توان گفت که $ \Delta > 0 $ پس :

$$ 4m^2 + 16m - 20 > 0 $$

با حل این نامعادله برای m دو بازه بدست می آید:

$$ m>1 , m < -5 $$

می دانیم در معادلات $ax^2 + bx + c = 0$ مجموع دو ریشه معادله برابر با $-\frac{b}{a}$ است. پس در این معادله مجموع ریشه ها برابر با $\frac{2m+4}{3}$ است.این مقدار را با توجه به بازه هایی که برای m بدست آوردیم تعیین می کنیم.

$$ m > 1 $$ $$ 2m + 4 > 6 $$ $$ \frac{2m+4}{3} > 2 $$

و برای بازه دیگر هم می توان نوشت‌:

$$ m < -5 $$ $$ 2m + 4 < -6 $$ $$ \frac{2m+4}{3} < -2 $$

پس مجموع طول نقاط اکسترمم در محدوده $[-2, 2]$ نخواهد بود.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...