به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
72 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Taha1381

به روش ترکیبیاتی ثابت کنید$\binom{\binom{n}{2}}{2} = 3 \binom{n}{3}+ 3 \binom{n}{4}=3\binom{n+1}{4}$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط A Math L
انتخاب شده توسط Taha1381
 
بهترین پاسخ

فرض کنید $n+1$ رنگ داریم و میخواهیم از بین آنها 2 گروه 2 تایی انتخاب کنیم که در هیچ گروهی 2 رنگ یکسان نباشد . رنگ هارا $ a_{1} , a_{2} ,... a_{n+1} $ مینامیم .

الف ) یکی از راه ها این است که ابتدا 4 رنگ میان این رنگ ها انتخاب کنیم . سپس یکی از این 4 رنگ را در نظر میگیریم . برای این رنگ 3 حالت وجود دارد تا همگروهی اش را انتخاب کند . تکلیف 2 رنگ دیگر نیز خود به خود روشن میشود . $3 \binom{n+1}{4} $

ب ) یک رنگ از میان $n+1$ رنگ مثل $ a_{i} $ انتخاب و تعداد حالات را به 2 دسته تقسیم میکنیم . $3 \binom{n}{3} +3 \binom{n}{4} $

$ a_{i} $ در گروه ها باشد : 3 رنگ دیگر از بین $n$ رنگ انتخاب و 3 انتخاب برای همگروهی اش . $3 \binom{n}{3} $

$ a_{i} $ در گروه ها نباشد : 4 رنگ را انتخاب . یکی از آن 4 تارا انتخاب و به 3 حالت همگروهی اش را انتخاب میکنیم . $3 \binom{n}{4} $

ج ) یکی از رنگ ها مثل $ a_{i} $ را کنار میگذاریم . حال تمام گروه های 2 تایی ممکن با $ n$ رنگ باقی مانده را در یکجا مینویسیم و سپس 2 گروه از بین این گروه های 2تایی که تعداد آنها $\binom{n}{2} $ است ، انتخاب میکنیم . اگر رنگی وجود نداشت که در هر 2 گروه باشد که حالت مطلوب پیش آمده و اگر رنگی مثل $ a_{j} $ در هر 2 گروه بود مثل $ a_{j} , a_{x} $ ----- $ a_{j} , a_{y} $ که $x<y$ جای $ a_{j} $ در گروه سمت راست را با $ a_{i} $ که کنار گذاشته بودیم عوض میکنیم . به راحتی میتوان فهمید حالت تکراری نداریم و همه حالات رخ میدهد . $ \binom{ \binom{n}{2} }{2} $

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...