به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
206 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

ثابت کنید $ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\tan(n)}{n} $ وجود دارد و به کدام عدد همگراست

دارای دیدگاه توسط
نمایش از نو توسط
–1
جواب حد برابر 0 است ولی علتشو نمی دونم

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

این دنباله اصلا حد نداره.

در واقع این مقاله رو پیدا کردم که در اون به طور کامل توضیح داده شده که چرا حد $ \lim_{n\to\infty}\frac{\tan n}n$ وجود ندارد.

به طور خلاصه میتونم بگم که جریان از این قراره که ابتدا ثابت میکنه که اگر این حد وجود داشته باشد آنگاه باید برابر صفر باشد. برای این کار نشان می دهد که یک زیر دنباله $ n_k$ از آن وجود دارد که $ \frac{\tan n_k}{n_k}$ به صفر همگرا می شود. در واقع زیر دنباله $ n_k $ را طوری انتخاب می کند که $\tan n_k< K $ ( برای یک عدد ثابتی مانند $K $ ) و لذا $$ \frac{\vert \tan n_k\vert }{n_k}\leq \frac{K}{n_k}\to 0\tag{*}\label{*}$$ برای پیدا کردن همچین زیر دانباله ای باید ببینیم در چه نقاطی $\vert \tan n\vert $ کوچک است؟ می دانیم که برای $ x=k\pi $ داریم $\tan x=0 $ اما متاسفانه اعداد $ k\pi $ اعدادی طبیعی نیستند اما ما می توانیم که دنباله از اعداد را که به این اعداد نزدیک باشند را پیدا کنیم در واقع می توانیم قرار دهیم $ n_k\in[k\pi-1,k\pi+1] $ آنگاه $$\begin{align}\tan n_k&\in[\tan(k\pi-1),\tan(k\pi+1)] \\ &=[\tan -1,\tan 1]\\ &=[-\tan1,\tan 1] \end{align}$$ لذا کافی است در $ \eqref{*}$ قرار دهیم $K=\tan 1 $ .

تا حالا پس ثابت شد که اگر حد بالا وجود داشته باشد باید برابر صفر باشد.

حال در مرحله دوم ثابت می کند که این حد نمی تواند صفر باشد. برای این کار نشان می دهد که یک زیر دنباله $n_k $ وجود دارد که $\frac{\tan n_k}{n_k} $ دور از صفر قرار دارد.

برای این کار میگیم که برای چه مقادیری $ \vert \tan n\vert $ خیلی بزرگ میشه؟ می دانیم که برای $ x=k\frac{\pi}2$ که $ k $ فرد است. در ادامه از این نکته استفاده میکنه که برای هر $\alpha $ گنگ یک دنباله گویای $ \{\frac {p_k}{q_k}\} $ وجود دارد که $ \vert \frac{p_k}{q_k} -\alpha\vert \leq \frac 1{q_k^2}$ و طوری این دنباله را در نظر می گیرد که مخرج جملات دنباله فرد باشد. سپس نشان می دهد که برای این زیر دنباله اریم: $$ \frac{\tan n_k}{n_k}>0 $$ و لذا نتیجه می گیریم که دنباله حد ندارد.

البته از روی شکل هم میشه این حدس رو زد. مثلا اگر در wolframalpha گراف تابع $ \frac{\tan x}{x}$ را رسم کنیم داریم:

enter image description here

با توجه به شکل واضحه که $ \frac{\tan x}x $ وقتی $ x\to\infty $ حد ندارد زیرا هم میتواند $ +\infty$ باشد و هم $ -\infty $ . و حتی هر مقدار متناهی دیگری را بی نهایت بار اختیار می کند.

برای $\frac{\tan n}n $ هم وقتی $ n\to\infty $ چون $ \tan $ در اینجا فقط روی اعداد طبیعی اثر میکند وجود نداشتن حد فوق قابل حدس است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...