به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
269 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

از بین دو عدد $ \sqrt 7-\sqrt 6$ و $ \sqrt 6-\sqrt 5$ کدام یک بیشتر است؟چرا؟

4 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

در حالت کلی می توان نشان داد برای هر $x>0$ داریم: $$ \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}< \sqrt{x+1}-\sqrt x $$ در واقع با اثبات بازگشتی می توان رابطه بالا را اثبات کرد: $$\begin{align}&\sqrt{x+2}+\sqrt x< 2\sqrt{x+1}\\ & \Leftrightarrow 2x+2+2\sqrt{x^2+2x}< 4x+4\\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+2x}< 2x+2\\ & \Leftrightarrow x^2+2x< x^2+2x+1\\ & \Leftrightarrow 0< 1\end{align}$$

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

از روابط زیر استفاده می کنیم $$ \frac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \times \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{5}}{ \sqrt{6} + \sqrt{5} } = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{5} }{6-5} = \sqrt{6} + \sqrt{5} $$ $$ \frac{1}{ \sqrt{7} - \sqrt{6} } \times \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{6} }{ \sqrt{7} + \sqrt{6} } = \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{6} }{7-6} = \sqrt{7} + \sqrt{6} $$ می دانیم $$ \sqrt{7} > \sqrt{5} $$ پس $$ \sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5} $$ یعنی $$ \frac{1}{ \sqrt{7} - \sqrt{6} } > \frac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } $$ که اگر دو طرف را معکوس کنیم خواهیم داشت $$ \sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5} $$.

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

به راحتی میتوان نشان داد که تابع زیر روی اعداد بزرگتر از یک نزولی است $f(x)= \sqrt{x}- \sqrt{x-1}$

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

می توان گفت چون تابع رادیکال تقعر رو به پایین دارد پس اختلاف مقادیر آن به ازای اعداد صحیح متوالی رفته رفته کاهش می یابد.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...