به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
23,334 بازدید
در دبیرستان توسط pulp
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

ثابت کنید در مثلث قائم الزاویه ، میانه وارد بر وتر نصف وتر است؟

توسط jafar
ویرایش شده توسط jafar
+1
میانه را به اندازه خودش ادامه میدهیم بعد به دو راس مثلث وصل میكنیم(4 تا مثلث كوچیك درست میشه) بعد از راه تساوی 2 ضلع و زاویه بین 2 تا 2 تا ثابت میكنیم كه مثلث ها همنهشت اند و به این ترتیب اگه پیش برویم طبق این قضیه که اگر در مثلثی دو زاویه باهم برابر باشند آن مثلث متساوی الساقین است ثابت میشه كه میانه برابر یكی از نصفه های وتر میشود

6 پاسخ

+4 امتیاز
توسط
انتخاب شده توسط admin
 
بهترین پاسخ

enter image description here

اگر میانه ی $ AM$ رو به اندازه ی خودش تا نقطه ی $D$ امتداد بدیم از هم نهشتی مثلث های$AMB$ با $CMD$(بنا به حالت دو ضلع و زاویه ی بین) نتیجه میشه که اضلاع رو به رو یعنی$CD$ و$AB$ با هم برابرند،و به طور مشابه از هم نهشتی دو مثلث $AMC$و $MDB$ نتیجه میشه $AC=BD$و همچنین ما می دونیم چهارضلعی که اضلاع روبه روش باهم برابر باشه متوازی الاضلاع میشه و چون یک زاویه اش قائمه ست پس حتما شکل حاصل مستطیل خواهد بود و میدونیم در هر متوازی الاضلاع قطرها همدیگر رو نصف می کنند از طرفی میدونیم قطرهای مستطیل باهم برابرند پس محل تلاقی قطرها در مستطیل ،قطرها رو به چهار پاره خط مساوی تقسیم میکنه یعنی$AM=MD=CM=MB$ پس$AM$ نصف$CM+BM$ خواهد شد یعنی میانه ی$AM$ نصف وتر خواهد بود

توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm
+1
ممنون از جوا ب خوب وقشنگتون اگر شکل رو هم میکشیدید بهتر میشد.(شکل رو اضافه میکنم.)
اگر وقتی عبارتی ریاضی یا حتی طول یک ضلع رو مینویسید اون رو درون دو دلار بنویسید یا بعد از کلیک روی دکمه تایپ ریاضی درون عبارت ظاهر شده بنویسید متن زیبا  تر میشود بنده این کار رو براتون در این جواب انجام میدم تفاوتش رو ببینید.
توسط
+1
ممنون خیلی عالی بود
+6 امتیاز
توسط OXIDE
ویرایش شده توسط saderi7

بهترین راه حل:

مثلث قائم الزاویه را در یک دایره محاط میکنیم: مرکز دایره روی وتر مثلث است پس پای میانه وارد بر وتر نیز میباشد از آنجایی که وتر مثلث برابر قطردایره و میانه برابر شعاع دایره است پس میانه نصف وتر است.

enter image description here

+2 امتیاز
توسط AQSHIN
ویرایش شده توسط fardina

enter image description here

در مثلث $ AHB$ طبق رابطه فیثاغورث داریم: $$ AH^2=c^2-(x-y)^2 \tag{*}\label{*}$$ در مثلث $AHC $ طبق رابطه فیثاغورث داریم: $$ AH^2=b^2-(x+y)^2 \tag{**}\label{**}$$ و همچنین در مثلث $ AHM $ طبق رابطه فیثاغورث داریم: $$ AM^2=AH^2+y^2 $$ در رابطه آخر به جای $AH$ مساوی هایش در $\eqref{*},\eqref{**} $ را می نویسیم خواهیم داشت: $$ AM^2=c^2-(x-y)^2+y^2=c^2-x^2+2xy \tag{1}\label{1}$$ $$AM^2=b^2-(x+y)^2+y^2=b^2-x^2-2xy \tag{2}\label{2}$$ با جمع رابطه های $\eqref{1},\eqref{2} $ داریم: $$ \color{yellow}{\underline{\color{black}{2AM^2=c^2+b^2-2x^2}}} $$ و از آنجا که $ x=\frac{BC}{2}=\frac a2 $ است و $ a^2=b^2+c^2$ لذا خواهیم داشت: $$\begin{align}2AM^2&=b^2+c^2-2x^2\\&=a^2-2(\frac a2)^2\\&=a^2-\frac{a^2}{2}\\&=\frac{a^2}{2} \end{align}$$ و لذا $ AM^2=\frac{a^2}{4}$ و در نتیجه $AM=\frac{a}{2} $ .

توسط jafar
+1
این راه خیلی طولانیه!!
و اگر دیدگاه بالا رو نگا کنی میتونی یه راه حل راحت تر پیدا کنی.
ممنون از جوابت
توسط AQSHIN
ویرایش شده توسط AQSHIN
+1
آره .
ولی هدفم این بود : اونایی که رابطه اندازه میانه با سایر ضلع های مثلث رو  نمیدونن، ببینن.
 ایده اینم خیلی سادست (از 4تا مثلث قاءم الزاویه کمک گرفتیم) . وقتی بخوای با توضیح کامل بنویسی اینجوری طولانی میشه.
 ایده ات خیلی جالب بود. ممنون
توسط erfanm
ممنون جواب جالبی بود.
+2 امتیاز
توسط Taha1381
ویرایش شده توسط good4us

زاویه ی قائمه Bرا به دو قسمت به اندازه های $x$و$y$تقسیم می کنیم ثابت می کنیم $BM$میانه است.

enter image description here

0 امتیاز
توسط

سلام / مستطیلی رسم کنید چون مستطیل متوازی الاضلاع نیز هست پس قطرها منصف یکدیگرند همچنین قطرها در مستطیل مساوی یکدیگرند نصف مستطیل همان مثلث قائم الزاویه است که نصف قط میانه و قطر دیگر وتر است موفق باشید

0 امتیاز
توسط

مثلث را به مربع تبدیل میکنیم میانه را به عنوان قطر مربع ادامه می دهیم قطر دیگر مربع هم رسم میکنیم در مربع قطرها عمود منصف یکدیگرند

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...