به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
190 بازدید
در دانشگاه توسط رها
ویرایش شده توسط رها

توو اثبات و حل خیلی از مسایل از این گزاره که میگه: $ f $ اندازه پذیر است اگروتنها اگر به ازای هر $ a\in\mathbb R $ مجموعه $ \{x:f(x)>a\} $ اندازه پذیر باشد,استفاده کردیم. خود این گزاره چطور اثبات میشه؟؟؟

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina

تابع $f:(X,\mathcal M)\to (Y,\mathcal N) $ اندازه پذیر گوییم هرگاه به ازای هر $ E\in\mathcal N $ داشته باشیم: $ f^{-1}(E)\in\mathcal M $ .

اگر سیگماجبر $ \mathcal N$ توسط $ \mathcal E$ تولید شده باشد در اینصورت می توان ثابت کرد که :

$f $ اندازه پذیر است اگروتنها اگر به ازای هر $ E\in\mathcal E $ داشته باشیم: $ f^{-1}(E)\in\mathcal M$ .

حال برای توابع $ f:(X,\mathcal M)\to(\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) $ چون سیگماجبر بورل $\mathcal B_\mathbb R $ توسط گردایه $ \mathcal E=\{(a,\infty):a\in\mathbb R\}$ تولید می شود لذا بنابر گزاره بالا $ f:(X,\mathcal M)\to(\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) $ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر به ازای هر $E\in\mathcal E= \{(a,\infty):a\in\mathbb R\}$ که $ E=(a,\infty) $ برای $ a\in\mathbb R $ داشته باشیم: $ f^{-1}(E)=f^{-1}(a,\infty)=\{x\in X:f(x)> a\} $ اندازه پذیر باشد.

همچنین می توان نشان داد نشان داد $f $ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر $ \{x:f(x)\geq a\} $ اندازه پذیر باشد. چون $\mathcal B_\mathbb R $ توسط $\{[a,\infty):a\in\mathbb R\} $ تولید می شود.

و به علاوه چون $\mathcal B_\mathbb R $ توسط هر کدام از گردایه های $ \{(-\infty,a):a\in\mathbb R\}$ و $ \{(-\infty,a]:a\in\mathbb R\} $ تولید می شود پس $ f $ اندازه پذیر است اگروتنها اگر به ازای هر $ a\in\mathbb R $ مجموعه $\{x:f(x)< a\} $ اندازه پذیر باشد.(یا مجموعه $ \{x: f(x)\leq a\}$اندازه پذیر باشد) .

توسط رها
ویرایش شده توسط رها
+2
سپاسگزارم
$f$ رو به این شکل تعریف کردین $(f:(X,M)→(R,B_R$ ,که بتونین از خواص مجموعه های بورل استفاده کنین؟؟؟ روش دیگه ای نداره؟
توسط fardina
+2
منظورتونو متوجه نشدم.
شاید لازمه بیشتر به تعریف ها توجه کنید.
توسط AmirHosein
@fardina به نظرم منظور @رها این است که اگر سیگماجبر روی $\mathbb{R}$ را سیگماجبر بورل در نظر نگیرید نیز این قضیه هنوز برقرار است؟ از نحوهٔ پرسششان که سیگماجبر خاصی را در نظر نگرفته‌اند (که در آن صورت قضیهٔ اشاره شده در پرسش الزاما برقرار نیست) و دیدگاهشان این‌گونه برمی‌آید که ابهامشان در همین است که به اشتباه در ذهنشان این قضیه را کلی در نظر گرفته‌اند.
توسط fardina
+1
@AmirHosein
بله ممنون از دقت شما. متاسفانه در صورت سوال هم اشاره ای به سیگماجبر نکرده اند و در این مواقع معمولا وقتی از اندازه پذیری $f:X\to \mathbb R$ حرف میزنیم منظور اینه که سیگماجبر روی اعداد حقیقی سیگماجبر بورل هست.
+1 امتیاز
توسط AmirHosein

تعریف‌های مربوطه را آقای فردینا آورده‌اند و صورتِ درست قضیه را که شرط مجهز بودن مجموعهٔ اعداد حقیقیِ هم‌دامنه به $\sigma$-جبر بورل را نیاز دارد را بیان و اثبات کرده‌اند. اما در حالت کلی بدون افزودن این شرط مثال نقض داریم.

خیلی ساده فرض کنید دامنه و هم‌دامنه هر دو $\mathbb{R}$ به همراه $\sigma$-جبر بدیهی $\Sigma=\lbrace \emptyset,\mathbb{R}\rbrace$ باشند. همهٔ تابع‌ها از این دامنه به این هم‌دامنه بدیهی اندازه‌پذیر می‌شوند چون تصویر وارون کل هم‌دامنه همیشه کل دامنه است و تصویر وارون تهی، تهی است، بدون نیاز به گذاشتن هیچ شرطی بر روی تابع‌تان. اکنون اگر تابعی ارائه کنید که در شرط قضیهٔ شما یعنی یک مجموعه به شکل $(a,\infty)$ را به یک اندازه‌پذیر که در اینجا فقط کل دامنه یا تهی باید باشد، برنگرداند آنگاه قضیه‌تان رد می‌شود.

تابع سادهٔ زیر را در نظر بگیرید؛

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll}2 & ; & x\geq 0\\ 1 & ; & x\lneqq0\end{array}\right.$$

به ازای هر $a$ بین ۱ و ۲ داریم $\lbrace x\in\mathbb{R}|f(x)>a\rbrace=[0,\infty)\notin\Sigma$ و کار تمام است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...