به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
104 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

ثابت کنید اگر $p=a^2+b^2=c^2+d^2$ ان گاه ${\a,b}\={\c,d}\$

دارای دیدگاه توسط
منظورتان از $\{a,b\}$ چه هست؟ البته در پرسش‌تان چون اسلش را جای انداخته‌اید و تنها ابرو تایپ کرده‌اید، ابروها (گیومه‌ها) نمایش داده‌نشده‌اند.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

تذکر: سعی کنید سوالاتان را دقیق بپرسید یعنی: $,p,a,b,c,d$ از چه مجموعه ای آمده اند مثلااعداد طبیعی هستند یا صحیح و یا .....

$\color{red}{ حالت1 }$ $\color{red}{ : }$

به طور مثال اگر فرض کنید $,p,a,b,c,d$ طبیعی باشند در این صورت مساله شما ناصحیح است

مثال نقض: $$ a=b=5 , c=1,d=7$$

$\color{blue}{ بازنویسی }$ $\color{blue}{ صحیح }$ $\color{blue}{ سوال }$ $\color{blue}{ : }$ اگر فرض کنیم $p$ عدد اول باشد در این صورت هر عدد اول را میتوان به صورت یکتا بصورت جمع مربع کامل دو عدد طبیعی نوست.

راهنمایی اثبات:

فرض کنیم بصورت یکتا نتوان نوشت یعنی وجود داشته باشد $c,d$ بطوری که: $$p=a^2+b^2=c^2+d^2$$

ابتدا بوضوح $1=(a,b)$ , $1=(c,d)$

$$a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2-b^2d^2=$$ $$d^2(a^2+b^2)-(c^2+d^2)b^2=$$ $$p(d^2-b^2) \Rightarrow $$

$$a^2d^2-b^2c^2=0 , mod p$$

بنابرین داریم: $p|a^2d^2-b^2c^2=(ad-bc)(ad+bc)$

حال با حالت بندی به جواب مورد نظر میرسید(؟)

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...