به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
3,758 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط hamidreza.doostbin
ویرایش شده توسط fardina

لطفا روش به دست آوردن سری مک لورن $\ln(x+1)$ حول نقطه صفر را بیان کنید.

مرجع: ریاضی 1

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

اگر پیدا کردن سری مطلوب سوال باشد .

با یادآوری شروع میکنیم :

بسط تیلور تابع $f$ که بی نهایت بار در نقطه $a$ مشتق پذیر است عبارت است از سری: $$\sum_0^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$$ که $f^n(a)$ مشتق مرتبه $n$ ام است. به عبارت دیگر $$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^3(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$

چنانچه$a=0$ در اینصورت بسط تیلور تابع $f$ در صفر را بسط مک لورن آن تابع گویند.

حال سری مکلورن برای تابع مورد نظر مینویسیم :

$$f(x)=\ln(x+1)$$ $$\begin{align} &f^{(1)}(x)=(1+x)^{-1} &\implies \ f^{(1)}(0)=1\\ &f^{(2)}(x)=-(1+x)^{-2} &\implies f^{(2)}(0)=-1\\ &f^{(3)}(x)=2(1+x)^{-3} &\implies \ f^{(3)}(0)=2\\ &f^{(4)}(x)=-6(1+x)^{-4} &\implies \ f^{(4)}(0)=-6\\ \end{align}$$

در نتیجه با توجه به یاد آوری خواهیم داشت :

$$\ln(1+x) = +\frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{2x^3}{3!} - \frac{6x^4}{4!} + ...$$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

یک روش دیگر به کمک اتحاد $$\frac 1{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots$$ که می دانیم برای $|t|< 1$ برقرار است. با انتگرال گیری از طرفین تساوی بالا از صفر تا $x$ داریم $$\begin{align}\int_0^x \frac 1{1+t}dt&=\ln (1+x)\\ &=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\end{align}$$

دارای دیدگاه توسط amirabbas
@fardina
روش خیلی جالبیه.آیا محدودیت t مشکلی در کلیت حکم بدست آمده ندارد؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
در $x$ که محدودیتی اعمال نشده.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...