به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
ارسال شده خرداد ۳, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط
ویرایش شده خرداد ۱۱, ۱۳۹۶ توسط
40 بازدید

میخواهیم چند تا از انتگرال های آشنا رو باهم حل کنیم .

$$\text{Question1}: \ \ \ \int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+a^2} }dx=? \ \ \ a\in \mathbb{R} $$
$$ I=\int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+a^2} }dx \tag{1}$$

ابتدا متغییر را تغییر میدهیم :

$$x=a\tan t \to dx=a\sec^2t dt$$

باز سازی انتگرال :

$$ I=\int \dfrac{a\sec^2t }{ \sqrt{a^2\tan^2 t+a^2} }dt=\int \dfrac{\sec^2t}{\sqrt{\tan^2 t+1} }dt$$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده میکنیم :

$$\tan^2t+1=\sec^2 t$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ I=\int \dfrac{\sec^2t }{ \sec t }dt= \int \sec t dt=\ln (|\tan t+\sec t|)+k$$

از $ (1)$ داریم :

$$x=a\tan t \to \tan t =\dfrac{x}{a}$$ $$\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ I= \ln (|\tan t+\sec t|)+k=\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a})+k$$

از خاصیت لگاریتم استفاده میکنیم :

$$\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a})+k=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln(a)+k$$ $$-\ln(a)+k=c$$
$$\text{Answer 1}: \ \ \ I=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+c$$

$$\text{Question2}: \ \ \ \int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-a^2} }dx=?\ \ \ a\in \mathbb{R} $$
$$ J=\int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-a^2} }dx \tag{1}$$

ابتدا متغییر را تغییر میدهیم :

$$x=a\sec t \to dx=a\sec t. \tan t dt$$

باز سازی انتگرال :

$$ J=\int \dfrac{a\sec t .\tan t }{ \sqrt{a^2\sec^2 t-a^2} }dt=\int \dfrac{a\sec t.\tan t}{\sqrt{a^2 \tan^2 t} }dt$$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده میکنیم :

$$\tan^2t+1=\sec^2 t$$ $$\sec^2 t-1=\tan^2 t$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ J=\int \dfrac{a\sec t.\tan t}{\sqrt{a^2 \tan^2 t} }dt= \int \sec t dt=\ln (|\sec t+\tan t|)+k$$

از $ (1)$ داریم :

$$x=a\sec t \to \sec t =\dfrac{x}{a}$$ $$\tan t=\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ J= \ln (|\sec t+\tan t|)+k=\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a})+k$$

از خاصیت لگاریتم استفاده میکنیم :

$$\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a})+k=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln(a)+k$$ $$-\ln(a)+k=c$$
$$\text{Answer 2}: \ \ \ J=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+c$$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...