به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده ۵ شهریور ۱۳۹۹ در مطالب ریاضی توسط Am.s (70 امتیاز) 125 بازدید

به نام خدا

معادلهٔ درجه سه ناقص زیر را در نظر بگیرید:

$x^3+px+q=0$

که $p$ و $q$ ضرایب معادله و اعداد حقیقی‌ای می‌باشند.

طبق فرمول کاردانو یکی از ریشه های این معادله به صورت زیر بدست می‌آید:

$x= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } }+\sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } $

شاید از خود بپرسید که اصلاً این فرمول چگونه بدست آمده است؟

در این مطلب می‌خواهم به پاسخ این سوال بپردازم.

ابتدا فرض می‌کنیم مقدار $x$ برابر است با جمع دو متغیر به نام های $u$ و $v$ بنابراین:

$x^3+px+q=0,x=u+v$

سپس $u+v$ را به توان $3$ رسانده و حاصل را می‌نویسیم:

$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3$

حاصل این عبارت را به شکل زیر نیز می‌توان بازنویسی کرد:

$(u+v)^3=3uv(u+v)+(u^3+v^3)$

سپس تمام جملات این برابری را به سمت چپ منتقل می‌کنیم:

$(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$

از این برابری می‌توان نتایج زیر را گرفت:

$-3uv=p \Rightarrow (uv=- \frac{p}{3} )^3 \Rightarrow u^3v^3= -\frac{p^3}{27} $

$-(u^3+v^3)=q \Rightarrow (u^3+v^3=-q)\cdot v^3 \Rightarrow u^3v^3+(v^3)^2=-qv^3$

با ترکیب دو برابری آخر می‌توان به برابری زیر رسید:

$(v^3)^2+qv^3- \frac{p^3}{27} =0$

می‌توان این برابری را به صورت یک معادلهٔ درجه دو در نظر گرفت و آن را حل کرد،با حل کردن این برابری برحسب $v^3$،مقدار $v^3$ به صورت زیر بدست می‌آید:

$v^3=- \frac{q}{2} \pm \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } \Rightarrow v= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} \pm \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } $

اگر مقدار $u$ را هم بدست آوریم،می‌توانیم مقدار $x$ را هم بدست آوریم و کار به اتمام می‌رسد.

مقدار $u$ دقیقا برابر با مقدار $v$ بدست می‌آید پس بنابراین:

$u,v=\sqrt[3]{- \frac{q}{2} \pm \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } \Rightarrow u= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} } } ,v= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} } } \Rightarrow x=u+v=\sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } }+\sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } $

کار تمام است!

البته ناگفته نماند که این فرمول را در اصل ریاضی‌دانی به نام تارتاگلیا بدست آورده ولی ریاضی‌دان دیگری به نام کاردانو مطلب وی را دزدیده است!

و متاسفانه امروزه این فرمول با نام فرمول کاردانو می‌شناسیم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...