به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
ارسال شده شهریور ۷, ۱۳۹۵ در مطالب ریاضی توسط
برچسب گذاری دوباره شهریور ۷, ۱۳۹۵ توسط
111 بازدید

معادله ی جالب:$e^{i \pi}+1=0$

شاید بپرسید علت جالب بودن این معادله چیست؟خوب در این معادله پنج عدد مهم در کنار یکدیگر قرار گرفته اند.

۱و۰:اعداد مهمی هستند که در نوشتن اعداد به صورت باینری ازانها استفاده می کنیم و ر علم کامپیوتر هم کاربرد ویژره ای دارند.

عدد نپر:نیازی به اشنایی نیست حتما در کلی از حد ها و مسٔله ها ان را استفاده کرده اید.

عدد پی:نسبت محیط به قطر دایره(:

عدد $i$:یکه موهومی تعریف شده با $i=\sqrt{-1}$

اثبات:برای اثبات این معادله باید از بسط تیلوراستفاده کنیم.

بسط تیلور برای $e^x$:

$$e^x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

بسط تیلور برای $cos{x}$:

$$\cos x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{{(2n)}!} x^{2n}$$

بسط تیلور برای $sin x$:

$$\sin x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

نکته مهم در مورد بسط سینوس و کسینوس:این بسط ها زمانی درست است که زاویه برحسب رادیان وارد شده باشد.

پی رادیان برابر ۱۸۰ درجه می باشد.

حال اگر در بسط تیلور $e^x$ به جای $x$،$i \theta$ را قرار داده و در بسط سینوس نیز همین کار و در بسط کسینوس به جای $x$ فقط $\theta$ را قرار دهیم داریم:

$e^{i\theta}=\cos {\theta}+i\sin{\theta}$

همان طور که گفته شد بسط های سینوس و کسینوس فقط زمانی درست است که زاویه برحسب رادیان وارد شده باشد.پس فرمول بالا هم زمانی درست است که زاویه بر حسب رادیان وارد شده باشد.

می دانیم که:

$\cos \pi =\cos 180=-1$

و

$\sin \pi=\sin 180=0$

پس اگر در معادله $e^{i \theta}=\cos {\theta}+i\sin{\theta}$ به جای $\theta$ عدد $\pi$ را قرار دهیم داریم:

$e^{i \pi}=-1+0\cdot i$

که نتیجه می دهد:

$e^{i\pi}=-1$

و در اخر نتیجه می گیریم:

$e^{i\pi}+1=0$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...