به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
48 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (247 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

توضیحات تصویر

با درود به همه اساتید محترم این محفل: مفروضات مسئله:

$\angle BAC=20^{\circ}$

$\overline{AB}=\overline{AC}$

$ \overline{AD}= \overline{BC}$

حکم مسئله:

$\angle ACD=?^{\circ}$

برای حل این سؤال چندین سال پیش جایزه گذاشته بودند. از طریق هندسه مسطحه راه حلش رو دارم. میخواستم بدونم از طریق هندسه تحلیلی یا مثلثات راه حل دیگری دارد؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
قبل توسط mdardah (1,202 امتیاز)
انتخاب شده قبل توسط ناصر آهنگرپور
 
بهترین پاسخ

بنام خداطبق شکل بدون اینکه اشکالی برای حل مسئله باشد می توانیم قاعده این مثلث را 2 واحد انتخاب کنیم ویکی از

راس های مثلث را مبدا انتخاب کنیم چون$80= \angle B $ میباشدبنابراین $ \angle HDB=10$

ابتداباتوجه به مختصات نقاط A و B معادله خط AB را مینویسیم تا مختصات نقطه D رابدست آوریم.

معادله خط AB باشیب tan80- برابراست با $y-tan80=-tan80(x-1) \Longrightarrow y=2tan80-xtan80$چون داریم طبق فرض مسئله AD=OB مقدار x رابر حسب نسبت مثلثاتی 80 درجه بدست می آوریم.

$$AD^{2} = OB^{2} \Longrightarrow (x-1)^{2} + (tan80-xtan80)^{2} =4 \Longrightarrow (x-1)^{2} (1+tan^{2}80) =4 \Longrightarrow \frac{ (x-1)^{2} }{ cos^{2}80 }=4 \Longrightarrow (x-1)^{2} =4 cos^{2}80 \Longrightarrow x=1+2cos80 $$

اگرمقدار x بدست آمده را در معادله خط AB قرار دهیم عرض نقطه D نیز بدست میآید که در شکل نوشته شده است.

حال ثابت می کنیم $ \angle ODH=20$ برای اثبات این مطلب $tan \angle ODH$ را طبق شکل بدست میآوریم

$tan \angle ODH= \frac{OH}{DH} = \frac{1+2cos80}{tan80-2sin80} = \frac{1+2sin10}{cot10-2cos10} = \frac{1+2sin10}{ \frac{1}{tan10}-2cos10 } =tan10( \frac{1+2sin10}{1-2sin10}) =tan10[ \frac{2( \frac{1}{2}+sin10) }{2( \frac{1}{2}-sin10)}]= tan10( \frac{sin30+sin10}{sin30-sin10}) = tan10(\frac{2sin20cos10}{2sin10cos20}) =tan10.cot10.tan20=tan20$

یعنی $ \angle ODH=20$ می باشد وبه کمک این زاویه سایر زوایا را پیدا میکنیم از جمله $ \angle AOD=10$ میباشد.

قبل توسط ناصر آهنگرپور (247 امتیاز)
@mdardah با درود به استاد عزیز: این روش را درنظر داشتم ولی نمیدانستم چگونه به سرانجام برسانم. راه حل بسیار مناسبی است. از توجهتان به این مطلب و صرف هزینه از وقت گرانبهاتون سپاس صمیمانه دارم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...