مثلث متساوی الساقین $ABC$ را که $ \angle B= \angle C=80^ \circ $ و رأس $A$ در بالاست و رأس $B$ در پائین سمت چپ و رأس $C$ در پائین سمت راست است را در نظر بگیرید (برای خود شکل را رسم کنید).واضح است که $ \angle A=20^\circ $. حالا همانند فرض مسأله در رأس $B$ زاویهای $10^ \circ $ جدا کنید تا روی ضلع $AC$ نقطه $D$ ایجاد شود. به همین ترتیب در رأس $C$ زاویه ای $20^ \circ $ تا روی ضلع $AB$ نقطه $M$ ایجاد شود.تا اینجا فرض مسأله است.
حل مسأله:
در رأس $B$ زاویه ای $20^ \circ $ جدا کنید تا ضلع $AC$ را در نقطه $N$ قطع کند.اگر $P$ نقطه تلاقی $BN$ و $CM$ باشد، مثلث $PBC$ متساوی الاضلاع با طول ضلع $x$ است و به کمک همنهشتی مثلثها می توان نشان داد که مثلث $PMN$ نیز متساوی الاضلاع با طول ضلع $y-x$ است که در آن $y:=CM=BN$. پس داریم:
$$ \angle CNB= \angle CMB=40^ \circ $$
$$ \angle NMC=MNB=60^ \circ $$
$$ \angle ANM= \angle AMN=80^ \circ $$
$$ \angle BEC=30^ \circ $$
حالا اگر نیمساز $A$ را تا نقطه $P$ (چرا این نیمساز از $P$ میگذرد؟) رسم کنیم داریم: $AP=PC=x$ (چرا؟). از طرفی دیگر دو مثلث $AEB$ و $CPA$ همنهشت اند (چرا؟) و از آنجا باید $AE=PC=x$.همچنین:
$$BN=NA=y$$
$$ \Rightarrow NE=NA-AE=x-y=MN$$
$$ \Rightarrow \angle NEM= \angle EMN=50^ \circ (?)$$
$$ \Rightarrow \angle BEM=\angle NEM- \angle NEB=50^ \circ -30^ \circ =20^ \circ $$
$\Box$
این مسأله مال ریاضیدان بزرگ $Langley$ است.
لانگلی در 22 ژانویه 1851 در باکدن متولد شد. او در مدرسه مدرن بدفورد، دانشگاه لندن و کالج ترینیتی، کمبریج تحصیل کرد، جایی که او یازدهمین دانشآموز رنگلر (1878) بود. پس از کمبریج، لانگلی در مدرسه مدرن بدفورد (1878-1918) ریاضیات تدریس کرد و در آنجا کتابهای درسی ریاضی متعددی نوشت و از جمله شاگردان او میتوان به ریاضیدان مشهور آینده، اریک تمپل بل، اشاره کرد. لانگلی دبیر انجمن ریاضی (1885-1893) شد، روزنامه ریاضی (1894) را تأسیس کرد و سردبیر آن (1894-1895) شد.
علاوه بر ریاضیات، ای. ام. لانگلی یک گیاهشناس برجسته بود و یک شاهتوت کشتشده به افتخار او ادوارد لانگلی نامگذاری شد.
لانگلی در 9 ژوئن 1933 در بدفورد درگذشت.شاگرد سابق او در مدرسه مدرن بدفورد، ریاضیدان اریک تمپل بل، در آگهی ترحیم او در مجله ریاضی گازت نوشت: «تمام جزئیات شخصیت پرانرژی و جذاب او امروز به همان اندازه بعد از ظهری که برای اولین بار او را دیدم، زنده است.»
