فرض کنید که $n>1$ عددی طبیعی و $A>0$ عددی حقیقی باشد میخواهیم $ \sqrt[n]{A} $ را با تقریبی دلخواه محاسبه کنیم:
روش اول:
دنبالۀ زیر را در نطر بگیرید:
$$1^n,2^n,3^n,...$$
این دنباله اکیدن صعودی است و واگرا به $+ \infty $ بینهایت و عددی طبیعی منحصر به فردی مانند $p$ وجود دارد (چرا؟) که:
$$p^n \leq A<(p+1)^n$$
حالا اگر بازۀ $[p,p+1)$ را به ده قسمت مساوی:
$$[p,p+\frac{1}{10}),[p+\frac{1}{10} ,p+\frac{2}{10}),...,[p+\frac{9}{10},p+1)$$
تقسیم کنیم، عددی حسابی و منحصر به فرد مانند $p_1$ وجود دارد که:
$$(p+\frac{p_1}{10})^n \leq A<(p+\frac{p_1+1}{10})^n$$
حالا اگر برای بازۀ $[p+ \frac{p_1}{10} ,p+ \frac{p_1+1}{10} )$ همین کار را تکرار کنیم و استقراء ریاضی را بکار ببریم، دنبالۀ:
$$p,p.p_1,p.p_1p_2,...$$
را داریم که به $A$ همگراست یا: $A=p.p_1p_2...$.
روش دوم:
تابع زیر را در نظر بگیرید:
$$y=f(x):=\frac{n-1}{n}x+\frac{A}{nx^{n-1}},0<x<\infty $$
حالا توجه کنید که $(\frac{n-1}{n}x)^{n-1}.\frac{A}{nx^{n-1}}$ مقداری ثابت است لذا بنابه خاصیت نامساوی میانگین حسابی-هندسی حداقل مقدار تابع در جایی اتفاق میافتد که:
$$\frac{\frac{n-1}{n}x}{n-1}=\frac{\frac{A}{nx^{n-1}}}{1} \Rightarrow x=\sqrt[n]{A}$$
و این کمترین مقدار برابر است با:
$$f(\sqrt[n]{A})=\frac{n-1}{n}\sqrt[n]{A}+\frac{A}{n\sqrt[n]{A}^{n-1}}=\sqrt[n]{A}$$
همچنین میتوانیم این ادعا را به کمک مشتق و بررسی تقعر و تحدب تابع اثبات کنیم. حالا توجه کنید که اگر $x<\sqrt[n]{A} $ آنگاه:
$$x-f(x)=x-\frac{n-1}{n}x-\frac{A}{nx^{n-1}}=\frac{x_n-A}{nx^{n-1}}>0 \Rightarrow f(x)<x$$
حالا عدد حقیقی و مثبت دلخواه $a$ را که حتی الامکان به $\sqrt[n]{A}$ نزدیک و کمتر است را در نظر بگیرید و دنبالۀ زیر را بسازید:
$$x_1:=f(a),x_n:=f(x_{n-1}) n \geq 2$$
با توجه به توضیحات بالا داریم:
$$\sqrt[n]{A}<x_n=f(x_{n-1})<x_{n-1}$$
یعنی دنباله نزولی و از پایین کراندار است لذا حد آن موجود است و باز هم از خواص تابع و توضیحات بالا مقدار این حد $\sqrt[n]{A}$ است.(؟)
به نظر من تابع فوق یکی از زیباترین تابعها است. باید ذهن آن ریاضیدانی را ستود که اولین بار بکارش برد.
مرجع: کتاب دوره اختصاصی جبر مقدماتی سرگی ایوسیفویچ نووسلو ترجمه پرویز شهریاری.
$\Box$
