$\require{color}$
تابع $f$ را در نظر بگیرید :$$f: \color{red}\mathbb{R}^{+} \color{black}\longrightarrow \color{blue}\mathbb{R}$$
$$f(x):= \color{green}\frac{1}{x} $$
در اینصورت لگاریتم طبیعی به صورت زیر تعریف می شود:
$$\ln(x):= \int_1^x \frac{1}{t} dt $$
ویژگی ها:
- دامنه برابر است با $ D = \mathbb{R}^{+} $
- برد برابر است با $ R= \mathbb{R} $
- $$ \frac{d}{dx} (\ln x)= \frac{1}{x} $$
- $$ \ln(1)= \int_1^1 \frac{1}{x} dx=0 $$
- خط $y=1$ منحنی $y=\ln x$ را در یک و فقط یک نقطه مانند $x=e$ قطع می کند که آن را عدد نپر گویند و عددی گنگ است . $$\ln (e)= 1 $$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}^{+} :\ln (x.y)=\ln (x)+\ln (y)$$
$$ \bbox[5px,border:2px solid teal]
{
\text{proof}
}
$$
$$\ln(xy) = \int_1^{xy}\dfrac{dt}t = \underbrace{\int_1^x \dfrac{dt}t+ \int_x^{xy} \dfrac{dt}t = \int_1^x \dfrac{dt}t + \int_1^y \dfrac{dz}z}_{ {z}:={t}/{x}} $$
$$=\ln(x)+\ln(y)$$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}^{+}:\ln ( \frac{x}{y} )=\ln (x)-\ln (y)$$
$$ \bbox[5px,border:2px solid teal]
{
\text{proof}
}
$$
$$\ln\frac{1}{x} = \underbrace{ \int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{dt}{t} = \int_{1}^{x} \frac{-u du}{u^2}}_{u:=1/t} = -\int_{1}^{x} \frac{du}{u} = -\ln x$$
$$\ln(\dfrac{x}{y})=\ln(x\times \dfrac{1}{y})=\ln (x)-\ln(y)$$
- $$ \forall x\in \mathbb{R},a\in \mathbb{R}^{+}: \ln \big( a^{x} \big) =x\ln(a)$$
$$ \bbox[5px,border:2px solid teal]
{
\text{proof}
}
$$
تابع$\ln $ معکوس پذیر است چنانچه معکوسش را با $y=E(x)=e^x$ نمایش دهیم:
$$E: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}\\ E(x):=e^x$$
در اینصورت دارای ویزگی های زیر خواهد بود.
ویژگی ها:
- دامنه برابر است با$ D_{h} =\mathbb{R}$
- برد برابر است با$ R_{h} =\mathbb{R}^{+}$
- $$ \frac{d}{dx} \big( e^{x} \big) = e^{x} $$
- $$ \forall x\in \mathbb{R}:e^{-x}= \frac{1}{ e^{x} } $$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}: e^{x} \times e^{y} = e^{x+y} $$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}: \frac{e^{x}}{e^{y}} =a^{x-y} $$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}: \big(e^{x}\big) ^{y} = \big(e^{y}\big) ^{x}=e^{x\times y} $$
- ترکیب هر تابع با معکوسش همانی است:
$$ \ln ( e^{x} )=x$$
$$ e^{ \ln(x) }=x $$
حال که ($ \forall x \in \mathbb{R}:E(x)= e^{x}$) تعریف کرده ایم آماده ایم تابع $h$ را برای $a>0$ که $a\neq 1$تعریف کنیم:
$$h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}\\ h(x)= \big(e^{\ln(a)}\big) ^{x} = a^{x}$$
ویژگی ها:
- دامنه برابر است با$ D_{h} =\mathbb{R}$
- برد برابر است با$ R_{h} =\mathbb{R}^{+}$
- $ :0 < a < 1 $ اکید نزولی است.
- $$ \frac{d}{dx} \big( a^{x} \big) = a^{x} \times \ln(a)$$
- $$\forall x\in \mathbb{R}:a^{-x}=e^{- \big(x\times \ln(a)\big) }= \frac{1}{a^{x}} $$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}: a^{x} \times a^{y} = a^{x+y} $$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}: \frac{a^{x}}{a^{y}} =a^{x-y} $$
- $$ \forall x\in \mathbb{R}: (a\times b)^{x} = a^{x} \times b^{x}$$
- $$ \forall x\in \mathbb{R}: ( \frac{a}{b} )^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}} $$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}: \big(a^{x}\big) ^{y} = \big(a^{y}\big) ^{x}=a^{x\times y} $$
معکوس تابع $h(x)=a^x,a>0,a\neq 1$ را با $$\log_a x= \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$ نمایش می دهیم و :
ویژگی ها:
- دامنه برابر است با$ D =\mathbb{R}^{+}$
- برد برابر است با$ R = \mathbb{R}$
- $ :0 < a < 1 $ اکید نزولی است.
- $$ \frac{d}{dx} \log_{a}(x) = \frac{1}{(\ln a)x} $$
- $$ \log_{a} (1)= \frac{\ln(1)}{\ln(a)} =0$$
- $$ \log_{a} (a)= \frac{\ln(a)}{\ln(a)} =1$$
- $$ \log_{e} (x)= \frac{\ln(x)}{\ln(e)} =\ln(x)$$
- ترکیب هر تابع با معکوسش همانی است:
$$ \log_{a} ( a^{x} )=x$$
$$ a^{ \log_{a}(x) }=x $$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}: \log_{a} \big(x \times y\big) = \log_{a}(x) + \log_{a} (y)$$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}: \log_{a} \big( \frac{x}{y} \big) = \log_{a}(x) -\log_{a} (y)$$
- $$ \forall x,y\in \mathbb{R}^{+},a,b\in \mathbb{R}: \log_{ y^{a} }( x^{b} ) = \frac{b}{a} \log_{y} (x)$$
- $$ \log_{b}(a) = \frac{\log_{c}(a)}{\log_{c}(b)} $$
ادامه دارد.
