Question

مقدار $x$ را بدست آورید

Comments

سوال مربوط به کدام مبحث و کدام پایه هستش؟

Answer 1

نقاط داده شده را در دستگاه مختصات قرار میدهیم حال مثلث $\triangle OAB$ را در نظر بگیرید

طبق قضیه فیثاغورث خواهیم داشت :

$$\|AO\| = \sqrt {x^2 + y^2}\\ \|OB\| = \sqrt {(15-x)^2 + y^2}\\ \|AO\|^2 + \|OB\|^2 = \|AB\|^2\\ x^2 + y^2 + x^2 - 30 x + 15^2 + y^2 = 15^2\\ x^2 + y^2 = 15 x\tag{1}$$

و همچنین در مثلث $\triangle ODC$ خواهیم داشت :

$$\|DO\|^2 + \|OC\|^2 = \|DC\|^2\\ x^2 + (y+5)^2 + x^2 + (y+15)^2 = 10^2\\ 2x^2 + y^2 + 10y + 25 +y^2+30 y + 225 = 100\\ 2x^2 + 2y^2 + 40y + 150 = 0\\ x^2 + y^2 + 20y + 75 = 0\tag{2}$$

از رابطه $(1),(2)$ خواهیم داشت :

$$-20y=15x+75\\ y=-\dfrac{15}{20}x-\dfrac{75}{20}$$ $$y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{15}{4}$$

حال در رابطه $(1)$ جایگذاری میکنیم :

$$x^2 + (\frac 34 x + \frac {15}{4})^2 = 15x\\ 16x^2 + (3 x + 15)^2 = 240x\\ 25x^2 + (90-240) x + 225 = 0\\ x^2 -6x + 9 = 0\\ (x-3)^2 = 0\\ x = 3\\ y = -\frac 94 - \frac {15}{4} = -6\\ \|OA\| = \sqrt {3^2 + (-6)^2} = 3\sqrt 5$$

Answer 2

---

ابتدا از نقطه $O$ به نقطه وسط ضلع $AB$ وصل میکنیم و همچنین از نقطه $O$ به وسط ضلع $EC$ وصل میکنیم و چون مثلث $\triangle AOB$ و $\triangle COE$ قائم الزاویه است و میدانیم میانه وارد بر وتر نصف وتر است در نتیجه خواهیم داشت :

$$AM=BM=OM=7.5$$ $$EN=NC=ON=5$$

حال یک دایره به مرکز $M$ و شعاع $7.5$ رسم میکنیم و همچنین دایره ایی به مرکز $N$ و شعاع $5$ رسم میکنیم . در میابیم که دو دایره برهم مماس خارج هستند زیرا فاصله بین مراکز آنها برابر مجموع شعاع آنهاست بدین ترتیب نقطه $O$ نقطه اشتراک بین دو دایره است که بر خط $MN$ واقع است .

---

شکل رو در نظر بگیرید با توجه به شکل خواهیم داشت :

$$\sin (\angle AMO)=\dfrac{AM}{MN}=\dfrac{10}{12.5}=0.8 \to \angle AMO = 53^ \circ$$

حال مثلث $\triangle ANC$ رو در نظر بگیرید رابطه کسینوس ها رو مینویسیم :

$$x^2=(7.5)^2+(7.5)^2-2(7.5)(7.5)\cos (53^ \circ )=45 \\ x=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$$

Comments

یک سوالی که پیش میاید این است که در اثبات saderi7از کجا می گویید که نقاطm,c,nهم خطند! پیشنهاد میکنم اول ثابت کنید که زاویه c_{2} برابر با 45 درجه است ،آن موقع است که اثبات شما قابل قبول است.