تعداد جواب های معادله $ \sqrt{4 - x^{2} }= x-1$

Question

جواب های معادله زیر چیست؟

$$ \sqrt{4 - x^{2} }= x-1$$

در پاسخنامه کتاب میگوید که $x-1$ بزرگتر از صفر است اما نمیدانم چرا اگر میشود مراحل حل این معادله را به طور کلی توضیح دهید.

اگر هم میشود چگونگی حل این گونه معادله ها را بگویید.

Comments

رادیکال به فرجه دو همیشه مقدار مثبتی است و در اینجا $x-1$ با این عبارت رادیکالی برابر شده است. پس باید نامنفی باشد.
حالا دوباره کتاب را بخوانید و مرحله بعد که دلیلش را نمی دانید اینجا بپرسید و کمک بخواهید.

---

چرا باید مثبت باشد؟
مگر برای مثال رادیکال ۴ برابر نیست با مثبت یا منفی ۲

---

لطفا مرا با @fardina صدا بزنید تا سایت به من اطلاع بده که برای من دیدگاه گذاشتید. من به طور اتفاقی این دیدگاه رو دیدم.
هر عدد حقیقی مثبت دو ریشه ی دوم دارد مثلا $4$ دو ریشه ی دوم دارد که $2$ و $-2$ هستند ولی گویا شما در تعریف رادیکال $4$ اشتباه متوجه شده اید. تعریف $\sqrt 4$ یعنی ریشه ی دوم مثبت $4$  که برابر $2$ است.

Answer 1

ابتدا توجه کنید که $\sqrt{Q}=R$ که $Q,R$ میتواند هر چند جمله ایی باشند . میدانیم که همواره داریم : $$ \sqrt{Q} \geq 0 , Q \geq 0 \tag{1}$$ حالا عبارت $ \sqrt{Q} $ با $R$ برابر شده در نتیجه $R \geq 0$ بوده که با آن برابر شده .

---

برای حل این معادلات ابتدا دو طرف عبارت را به توان برسانید :

$$\sqrt{Q}=R \\ (\sqrt{Q})^2=(R)^2 \\ Q=R^2 \\ Q-R^2=0$$

حال معادله اخری را که یک معادله چند جمله است را حل کنید . و $x$ های بدست امده را در معادله اولی یعنی $$\sqrt{Q}=R$$ امتحان کنید . و آنهایی را که در معادله صادق بودند . جواب معادله هستند .

---

یا اینکه ابتدا دو نامعادله $Q \geq 0 $ و $R \geq 0$ را حل کنید و حوزه ی $x$ را بدست بیاورید . و با توجه به راه حل اول : $Q-R^2=0$ را حل کنید و $x$ های که در حوزه $x$ بودند . جواب معادله هستند.

Answer 2

ابتدا دو طرف معادله را به توان ۲ می‌رسانیم: $ (\sqrt{4-x^2}=x-1)^2 \Longrightarrow 4-x^2=x^2-2x+1 $

و حالا تمام جملات سمت راست معادله را به سمت چپ منتقل می‌کنیم: $4-x^2=x^2-2x+1 \Longrightarrow 4-x^2-x^2+2x-1=0 $

و حالا سمت چپ معادله را ساده می‌کنیم. $4-x^2-x^2+2x-1=0 \Longrightarrow -2x^2+2x+3=0 $ و حالا این معادله‌ی درجه دو به دست آمده را با استفاده از فرمول دلتا حل می‌کنیم... بعد از حل کردن جواب های معادله به صورت زیر به دست می‌آید: $ x_{1}= \frac{1+ \sqrt{7} }{2} $

$ x_{2}= \frac{1- \sqrt{7} }{2} $

بعد از بررسی جواب ها در معادله‌ی اولیه متوجه می‌شویم که $ x_{2} $ در معادله‌ی اولیه صدق نمی‌کند.بنابراین جواب ما همان $ x_{1} $ است.

Comments

@Amin.sm که$x_2$ غیر قابل قبول است.

---

@good4us بله،بعد از بررسی متوجه می‌شویم که X2 در معادله‌ی اولیه صدق نمی‌کند و فقط X1  صدق می‌کند.
ممنون از توجه شما.