معادلهٔ $ \sqrt[3]{14+ \sqrt{x} } + \sqrt[3]{14- \sqrt{x} } =4 $ را حل کنید

Question

با سلام

جواب معادلهٔ $ \sqrt[3]{14+ \sqrt{x} } + \sqrt[3]{14- \sqrt{x} } =4 $ را بیابید. طرفین را به‌توان سه رساندم جمع دو مکعب جملهٔ اول و آخر 28 به‌دست آمد اما از دو جملهٔ دیگر نتوانستم $x$ را بیابم.

Answer 1

• رایکالها را نامگذاری می کنیم $a= \sqrt[3]{14+ \sqrt{x} }>2 \quad, b=\sqrt[3]{14- \sqrt{x} } < 3 $

در نتیجه داریم $$a+b=4$$ $$a^3+b^3=28 $$

اتحاد
$$(a+b) ^3 =a^3 +b^3 +3ab(a+b) $$

از اتحاد بالا داریم $ ab=3 $ در نتیجه $ a=3,b=1 $ حال با جاگذار داریم $$3=\sqrt[3]{14+ \sqrt{x} } \Rightarrow x=169 $$$$1=\sqrt[3]{14- \sqrt{x} } \Rightarrow x=169 $$ از آنجا که x ها یکسان بدست می آید پس جواب مسئله است.

Answer 2

به نام خدا.

اتحاد زیر را برای دو عدد حقیقی $a$ و $b$ داریم:

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

پس دو طرف تساوی سوال را به توان سه می‌رسانیم:

$$\begin{array}{l} \sqrt[3]{14+ \sqrt{x} } + \sqrt[3]{14- \sqrt{x} } =4\\ \Longrightarrow (\sqrt[3]{14+ \sqrt{x} } + \sqrt[3]{14- \sqrt{x} } )^3=64\\ \Longrightarrow 14+ \sqrt{x} +14- \sqrt{x} +3( \sqrt[3]{196-x} )( \sqrt[3]{14+ \sqrt{x} } + \sqrt[3]{14- \sqrt{x} } )=64\\ \Longrightarrow 28+12 \sqrt[3]{196-x} =64\\ \Longrightarrow \sqrt[3]{196-x}=3\\ \Longrightarrow 196-x=27\\ \Longrightarrow x =169=13^2 \end{array}$$