برابری $x^2-4[x]+3=0$ و نابرابری $[x]^2-3[x]+2\geq 0$ را چگونه باید حل کرد؟

Question

با عرض سلام و خسته نباشید. ممنون می‌شوم معادله و نامعادله‌های زیر که دارای جزءصحیح هستند را حل کنید.

1. $$x^2-4[x]+3=0$$
2. $$[x]^2-3[x]+2\geq 0$$

Comments

@tooka7 با توجه به اینکه جواب کمی طولانی می شود پیشنهاد می کنم دو معادله را به صورت دو سوال جداگانه مطرح کنید. معادله اول رو در پخش پاسخ ها حل کردم.
می تونید سوال رو ویرایش کنید و معادله دوم رو حذف کنید و اون رو به عنوان یک سوال جدید از نو در سایت ثبت کنید

---

@rafig256 اگر قرار باشد دو پرسش کنند، بهتر است یکی را مطرح کنند و دیگری را خودشان فکر کنند و اگر نتوانستند و چیز بیشتری نیاز بود، آنگاه دومی را بپرسند.

---

بلی حق با شماست @AmirHosein . البته من یکی رو حل کردم. با توجه به راه حلی که در بخش پاسخ مطرح کردم می تونند سوال دوم رو هم حل کنند.
@tooka7 اگر هم نتونستید تو سوال جدیدی مطرح کنید تا همکاران پاسخ بدند.

Answer 1

حل مورد اول:

بازنویسی معادله: $x^{2}-4 \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}+3=0$

با توجه به اینکه ریشه های این معادله بدون جزء صحیح یعنی $x^{2}-4 x+3=0$ مقادر 1 و 3 می باشد اطراف این مقادیر را به بررسی می کنم. (طبیعتا بررسی کردم بازه های بزرگتر زمان بر است و با به دست آمدن مقادیر نیز می توان حدس زد که با دور شدن از 1 و 3 جواب ها از 0 یا همان ریشه فاصله می گیرند. لذا قطعا جوابهای ممکن در اطراف این دو عدد خواهد بود)

من بازه 0 تا 4 را بررسی می کنم. چون با جزء صحیح طرف هستم این بازه را به 4 قسمت یک واحدی تقسیم می کنم تا مقادیر جزء صحیح در هر بازه مقدار ثابتی باشد و بتوانم در معادله جایگذاری کنم.

$0 \leq x< 1 \Rightarrow \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}=0 \Rightarrow x^{2}-4 \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}+3=x^{2}-4 *0+3=0 \Rightarrow x^{2}+3=0 \Rightarrow x^{2}=-3$

با توجه به اینکه مربع یک عدد حقیقی نمی توان منفی باشد بنابراین در بازه 0 تا 1 جواب قابل قبول نداریم. بازه بعدی یعنی 1 تا 2 را بررسی می کنیم.

$1 \leq x< 2 \Rightarrow \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}=1 \Rightarrow x^{2}-4 *1+3=x^{2}-4 +3=0 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x =\begin{cases}1 \\-1 \end{cases}$

جواب دوم یعنی 1- در بازه فرض شده یعنی 1 تا 2 جای نمی گیرد. لذا غیرقابل قبول است. اما جواب دوم در بازه است. پس تا اینجا یک جواب $x=1$ است. بازه بعدی یعنی 2 تا 3 را بررسی می کنیم.

$2 \leq x< 3 \Rightarrow \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}=2 \Rightarrow x^{2}-4 *2+3=x^{2}-8 +3=0 \Rightarrow x^{2}=5 \Rightarrow x =\begin{cases} \sqrt{5} \\- \sqrt{5} \end{cases}$

در این بخش نیز یک جواب در بازه قرار دارد و دیگری نه. بنابراین جواب دوم $x= \sqrt{5}$

برای بازه بعد یعنی 3 تا 4 نیز بررسی انجام می دهیم:

$3 \leq x< 4 \Rightarrow \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}=3 \Rightarrow x^{2}-4 *3+3=x^{2}-12 +3=0 \Rightarrow x^{2}=9 \Rightarrow x =\begin{cases} 3 \\- 3 \end{cases}$

جواب سوم نیز پیدا شد: $x=3$ جواب دوم در بازه فرض شده قرار نمی گیرد. بنابراین غیرقابل قبول است.

با بررسی بازه های بعدی مشاهده خواهید کرد که جواب معادله از صفر فاصله می گیرد. یعنی در حقیقت نمودار از محور x فاصله می گیرد بنابراین جواب دیگری متصور نیست.

بنابراین این معادله سه جواب دارد: $x= \lbrace 1, \sqrt{5},3\rbrace$

Answer 2

حل مورد دوم: $[x]^{2}-3[x]+2 \geq 0$

اگر $([x]-1)([x]-2) < 0$باید

$[x]< 1,[x]>2$ که دراینصورت $x< 1,x \geq 3$که جواب ندارد یا
$[x]>1,[x]< 2$ که دراینصورت نیز$x \geq 2,x < 2$که جواب ندارد این نشان میدهد $[x]^{2}-3[x]+2$ هیچگاه منفی نمیشود وبه ازای هر $x$ همواره بزرگتر یامساوی صفر خواهد بود