معادله رادیکالی $\sqrt{2x+1}=1-\sqrt{x}$ را چگونه باید حل کرد؟

Question

پرسش زیر را در نظر بگیرید.

معادله روبرو را حل کنید. $\sqrt{2 \chi +1} =1-\sqrt{\chi }$

روشی که رفتم$\Longleftarrow$به توان 2 میرسونیم$ \longleftarrow $ $2 \chi +1=1+ \chi -2 \sqrt{ \chi } $$ \Longleftarrow$ $ \chi = - 2 \sqrt{ \chi }$

از اینجا به بعدش رو مشکل دارم چون به دو روش رفتم و مطمینم یکیش اشتباهه:

روش اول: $ - \frac{ \chi }{2} = \sqrt{ \chi } $ به توان دو میرسونیم $ \Longleftarrow \frac{ x^{2} }{4} = \chi $ تا اینجا روش دوم و اول یکیه و بعدش$ \Longleftarrow 4 \chi = x^{2} $$4= \chi $ که صدق نمیکنه در معادله...

روش دوم: مطابق روش بالا اما:$4 \chi = x^{2} $$ \Longleftarrow $ $4 \chi - x^{k} =0$ و $ \Longleftarrow $ $ \Longleftarrow \chi (4- \chi )=0$ که صدق میکنه $ \chi =0$ یا $ \chi =4$ که صدق نمیکنه

Comments

Darya_Banoo@ در روش اول $x$ را از نظر صفر بودن یا نبودن باید بحث کنید اگر صفر باشد که برقرار است ، اما اگر صفر نباشد بر آن دو طرف را تقسیم می کنیم که جواب 4 به دست می آید البته در معادله اصلی صدق
نمی کند و غیر قابل قبول خواهد بود. به این ترتیب عامل یکسان در دو طرف یک معادله را بدون در نظر گرفتن صفر شدن یا نشدن نباید خط بزنید و ساده کنید.

Answer 1

در حل یک معادله قبل از حل ابتدا باید دامنه یا همان محدوده قابل تعریف متغیر یا متغیرهای معادله را مشخص کرد مخصوصا در معادله های رادیکالی . و جواب معادله باید در دامنه قرار داشته باشد . در این معادله نیز دامنه را مشخص می کنیم . اولا چون $x$ زیر رادیکال با فرجه 2 در سمت چپ معادله قرار دارد پس $x \geq 0$ . از طرفی در سمت راست معادله زیر رادیکال با فرجه 2 عبارت $2x+1$ داریم پس $2x+1 \geq 0$ که نتیجه می دهد $x \geq - \frac{1}{2} $ . از طرفی سمت چپ معادله عبارت همواره نامنفی داریم ($ \sqrt{2x+1} \geq 0 $) پس سمت راست معادله نیز باید نامنفی باشد یعنی $1- \sqrt{x} \geq 0$ که نتیجه میدهد $x \leq 1$ . حال دامنه $x $ برابر است با اشتراک 3 محدوده $x \geq 0$ و $x \geq - \frac{1}{2} $ و $x \leq 1$ . که میشود $0 \leq x \leq 1$ . بنابراین جواب معادله در صورت وجود در محدوده $0 \leq x \leq 1$ قرار دارد . حال معادله را حل می کنیم . برای این کار دو طرف معادله را به توان 2 می رسانیم :

$ ( \sqrt{2x+1} )^{2} $ = $ (1- \sqrt{x} )^{2} $ $ \Rightarrow $ $2x+1 = 1+x-2 \sqrt{x} $ $ \Rightarrow $ $x=-2 \sqrt{x} $ $ \Rightarrow $ $ x^{2} = 4x $ $ \Rightarrow $ $x(x-4)=0$ $ \Rightarrow $ $x=0$ یا $x=4$

$4$ در محدوده $0 \leq x \leq 1$ قرار ندارد پس نمی تواند جواب معادله باشد ولی$0$ در این محدوده قرار دارد پس $0$ تنها جواب معادله است .