توجه کنید که اگر مقدارهای ممکن برای $x$ را بیابید آنگاه مقدارهای ممکن برای $y$ متناظر به هر یک از مقدارهای $x$ با رابطهٔ سادهٔ
$$x^2+y=32\Longrightarrow y=32-x^2$$
بدست می‌آید. یعنی پاسخ‌هایتان یک مجموعهٔ متناهی از نقطه‌های به شکلِ $(x,32-x^2)$ هستند. یا برعکس اگر به جای یافتن مقدارهای ممکن برای $x$، ابتدا مقدارهای ممکن برای $y$ را بدست آورید آنگاه به خاطرِ
$$y^2+x=54\Longrightarrow x=54-y^2$$
دوتایی‌هایی که به دنبالشان هستید به شکلِ $(54-y^2,y)$ خواهندبود.
حالا حتی اگر هم مجموعهٔ پاسخ‌ها را نیابید ولی همین قدر هم بنویسید یا حتی یکی از این دو تای بالا را بنویسید باز هم قسمتی از نمره را می‌گیرید؟ نه؟ هیچ وقت همینطوری به امان خدا ننشینید، همیشه دست به قلم شوید. حتی اگر بحث امتحان و نمره نباشد. با اینکه تلاش بالا مقدار پاسخ‌ها را نداد ولی اطلاعات بیشتری پیرامون آنها برایمان روشن کرد!
اما حل را ادامه دهیم. من از مسیر نخست می‌روم یعنی تلاش می‌کنم مقدار $x$ها را ابتدا بدست‌آورم. اکنون که از برابریِ نخست فهمیدیم $y$ باید در $y=32-x^2$ صدق کند پس می‌توانیم برای $y^2$ هم یک هم‌ارز ولی فقط با $x$ بدست آوریم که در برابریِ دوم جایگذاری کنیم و به یک دستگاهِ «یک برابری-یک مجهولی» با مجهول $x$ پرسش را ساده کنیم.
$$y^2+x=54\overset{y=32-x^2}{\Longrightarrow}(32-x^2)^2+x=54$$
که پس از ساده‌سازی می‌شود
$$x^4-64x^2+x+970=0$$
برابریِ چندجمله‌ای تک‌متغیرهٔ درجهٔ ۴ دارای فرمول رادیکالی مانند درجهٔ ۲ و ۳ است ولی معمولا خیلی جالب نیستند. بنابراین بیایید از روش‌های دیگر استفاده کنیم. نخستین روش ساده این است که چک کنیم آیا ریشهٔ گویا دارد یا خیر. این روش را در جاهای مختلفی می‌توانید ببینید، یک مرجع می‌تواند پست زیر باشد که در پاسخ به پرسش کاربر دیگری در این سایت نوشته‌ام.
https://math.irancircle.com/19321/#a19361
اگر عدد گویایی ریشهٔ این برابری باشد، صورتِ آن باید ضریب ثابت یعنی ۹۷۰ و مخرج آن باید ضریب پیش‌رو یعنی ۱ را بشمارد. در نتیجه تنها نامزدهای ممکن عبارت خواهند بود از اعضای مجموعهٔ زیر که اتفاقا همگی هم صحیح هستند (چون مخرج تنها می‌توان ۱ یا منفی ۱ باشد).
$$\lbrace\pm 1,\pm 2,\pm 5,\pm 10, \pm 97,\pm 194,\pm 485, \pm 970\rbrace$$
که پس از جایگذاری تنها یکی از اینها در برابری صدق می‌کند، $x=5$. پس چندجمله‌ای باید بر $x-5$ بخش‌پذیر باشد و سایر ریشه‌ها، ریشه‌های خارج‌قسمت این تقسیم خواهندبود. تقسیم چندجمله‌ای‌های یک‌متغیره را اگر بدانید، آنگاه دارید
$$(x-5)(x^3+5x^2-39x-194)=0$$
قسمتِ $x^3+5x^2-39x-194=0$ ریشهٔ گویا ندارد. سه ریشهٔ حقیقی دارد که مقدارهای تقریبی آن (می‌توانید با روش‌های ریشه‌یابیِ عددی بدست آورید) با دو رقم پس از اعشار عبارت‌اند از $-6.30$ و $-4.93$ و $6.23$. هر یک از این چهار مقداری که برای $x$ یافتیم دقیقا یک مقدار برای $y$ هم می‌دهد. برای نمونه
$$y=32-x^2\overset{x=5}{\Longrightarrow}y=32-25=7$$
پس یک دوتایی که در دستگاهِ دوبرابری-دومجهولی‌تان صدق کند برابر است با $(5,7)$. و سه تای دیگر را نیز خودتان با جایگذاری می‌توانید بدست آورید.
