دستگاه دو برابری-دو مجهولِ $x^4+2y^3-x=-\frac{1}{4}+3\sqrt{3}$ و $y^4+2x^3-y=-\frac{1}{4}-3\sqrt{3}$ را حل کنید.

Question

دستگاه دو برابری-دو مجهولِ زیر را در حل کنید.

\begin{align} x^4+2y^3-x &= -\frac{1}{4}+3\sqrt{3}\\ y^4+2x^3-y &= -\frac{1}{4}-3\sqrt{3} \end{align}

با جمع و تفریق دو معادله، سعی کردم تجزیه کنم ولی مقدار یک دوم یا سه رادیکال سه، اضافی می‌آیند.

Comments

@alitk مرجع فقط اثر قابل دسترس است، «طرح توسط معلم» مرجع قابل دسترس نیست، پس نباید در بخش مرجع نوشته شود، ولی می‌توانید در قسمت متن سوال آن را اضافه کنید. معلم چه درسی و در مورد چه بخشی از درس چنین پرسشی به شما داده‌است؟ به نظر پرسش نامناسبی برای مدرسه است. ولی با استفاده از ابزارهای هندسهٔ جبری یا آنالیز عددی دستگاه شما ۴ پاسخ حقیقی دارد که ریشه‌های یک معادلهٔ درجهٔ ۱۶ تک‌متغیره هستند.

Answer 1

با تغییر متغیر$ ( x^{2} +x)= \alpha $ و $( y^{2} +y)= \beta $ داریم $x^{4} + x^{2} +2 x^{3} = \alpha ^{2}$ و$ y^{4} + y^{2} +2 y^{3} = \beta ^{2} $ اگر در این دستگاه بجای $ x^{2} و y^{2} $ مقادیر $ x^{2} = \alpha -x و y^{2} = \beta -y$ قرار دهیم سپس دو طرف دستگاه را باهم جمع کنیم باتوجه به صورت مسئله داریم$ ( x^{4} +2 y^{3} -x+ y^{4} +2 x^{3} -y=- \frac{1}{2} )$ درنتیجه $ \alpha + \beta = \alpha ^{2} + \beta ^{2} + \frac{1}{2} $ اگر این معادله را برحسب $ \alpha $ مرتب کنیم داریم $ \alpha ^{2} - \alpha + \beta ^{2} - \beta + \frac{1}{2} =0 $دراین معادله درجه 2 مقدار $ \bigtriangleup $ رابدست می آوریم $ \bigtriangleup =1-4 x \beta ^{2} +4 \beta -2=- (2 \beta -1)^{2} $ اگرجواب حقیقی بخواهیم باید مقدار$ \bigtriangleup $صفرشودزیرا همواره منفی است.بنابراین $ 2 \beta -1=0 $ درنتیجه$ \beta = \frac{1}{2} $ اگراین مقدار را درآن تغییر متغیر قرار دهیم خواهیم داشت $ y^{2} +y- \frac{1}{2} =0 $ برای این معادله دو جواب بدست می آیدکه یکی برای مقدار x ودیگری برای y است $ y= \frac{-1+ \sqrt{3} }{2} $ و $ x= \frac{-1- \sqrt{3} }{2} $همچنین میتوان جواب های موهومی رانیز بدست آورد.