اینجا من یک روش با کمک هندسهٔ جبریِ محاسباتی میدهم که البته با روش طراح پرسش متفاوت است. متغیرهای جدید زیر را تعریف کنید.
$$X=\sqrt{x},\;Y=\sqrt{y},\;Z=\sqrt{z}$$
بنابراین دستگاهتان به یک دستگاه از برابریهایِ چندجملهای به شکل زیر دگرگون (تبدیل) میشود.
$$\begin{array}{l}
X+Y+Z=1\\
2X^2+3Y^2+6Z^2=1\\
5X^2Y^2=Y^2+Z^2
\end{array}$$
که با
$$\begin{array}{l}
X+Y+Z-1=0\\
2X^2+3Y^2+6Z^2-1=0\\
5X^2Y^2-Y^2-Z^2=0
\end{array}$$
پایهٔ گروبنرِ ایدهآلِ تولیدشده بوسیلهٔ سه چندجملهای سمت چپ دستگاه بالا را با ترتیبِ تکجملهایهای واژهنامهای با ترتیب متغیرهای $Z<Y<X$ محاسبه میکنیم. پایهٔ گروبنرِ کاهشیافته سه چندجملهای به شکل زیر خواهد داشت.
$$\begin{array}{l}
1600X^8-4800X^7+2580X^6-2160X^5-380X^4+624X^3-132X^2-36X+13,\\
800X^7-1600X^6-160X^5+2360X^4-1910X^3+382X^2+229X+54Y-113,\\
-800X^7+1600X^6+160X^5-2360X^4+1919X^3-382X^2-175X+54Z+59
\end{array}$$
همینطور که میبینید چندجملهایِ نخست یک چندجملهای تکمتغیره است و ریشههای حقیقیاش را میتوان با روشهای حل برابریهای تکمتغیره برای نمونه روشهای آنالیز عددی پیدا کرد. سپس چندجملهای دوم یک چندجملهایِ خطی (درجه یک) بر حسب $Y$ است و متغیر $Z$ ندارد. پس اگر پاسخهای برابریِ چندجملهایِ نخست را بردارید و در آن جایگذاری کنید مقدار $Y$ هم بدست میآید که به ازای هر پاسخ برای $X$، دقیقا یک پاسخ برای $Y$ میدهد. چندجملهای سوم یک چندجملهایِ خطی بر حسب $Z$ است و متغیر $Y$ ندارد. پس مشابه آنچه برای $Y$ گفتیم برای $Z$ نیز میتوان گفت. (توجه کنید که مجموعهٔ پاسخهای دستگاه برابریهای ایجادشده با پایهٔ گروبنر با مجموعهٔ پاسخهای دستگاه برابریهای اولیه برابر است).
من برای یافتن ریشههای چندجملهای نخست از تجزیهاش استفاده میکنم. تجزیهٔ این چندجملهای بر روی مجموعهٔ اعداد گویا به شکل زیر میشود.
$$(2X-1)^2(400X^6-800X^5+420X^4+80X^3-120X^2+16X+13)$$
که چندجملهای سمت راست هیچ ریشهٔ حقیقیای ندارد. پس تنها ریشهٔ حقیقی $\frac{1}{2}$ میشود. بنا به چیزی که پیشتر گفتیم چون برای $X$ یک پاسخ یافت شد پس مقدار $Y$ و $Z$ نیز یکتا خواهد بود. پس در کل یک نقطه داریم که مختصات $Y$ و $Z$ برابر با حاصلِ برابریهای خطیِ زیر هستند.
$$54Y-18=0,\;54Z-9=0$$
در واقع تنها پاسخ برابر است با $(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6})$. اما به یاد آورید که این متغیرها جذر متغیرهای اصلی هستند. پس مجموعه پاسخِ دستگاه اصلی شما در متن پرسش برابر با مجموعهٔ تکنقطهایِ زیر میشود.
$$\lbrace (\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{36})\rbrace$$
برای انجام این محاسبهها با نرمافزار Maple میتوانید از دستورهای زیر استفاده کنید.
F:=eval([sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z)=1,2*x+3*y+6*z=1,5*x*y=y+z],[sqrt(x)=X,sqrt(y)=Y,sqrt(z)=Z,x=X^2,y=Y^2,z=Z^2]);
G:=Groebner:-Basis([seq(lhs(j)-rhs(j),j in F)],plex(Z,Y,X));
solve(G[1]=0,X,real);
factor(G[1]);
g2:=eval(G[2],X=1/2);
solve(g2=0,Y);
g3:=eval(G[3],[X=1/2,Y=1/3]);
solve(g3=0,Z);
