حل دستگاه معادلات دیفرانسیل ناخطی $(ut-x)dy = (h-y)dx, v^2 (dt)^2 = (dx)^2 + (dy)^2$

Question

دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید:

$$\begin{cases} (ut-x)dy = (h-y)dx \\ v^2 (dt)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 \end{cases} $$

که در آن $u$ و $v$ و $h$ اعداد ثابت حقیقی و مثبت و $x$ و $y$ (مختصات مکانی) توابعی یک‌به‌یک از $t$ (زمان) با برد و دامنه حقیقی نامنفی هستند. (بنابراین $x$ و $y$ را هم‌چنین می‌توانیم توابعی از یکدیگر در نظر بگیریم). هم‌چنین می‌دانیم:

$$ t=0 \Longleftrightarrow x=0 \Longleftrightarrow y=0 $$

هم‌چنین در صورت نیاز می‌توانیم از دو شرط زیر بهره ببریم: $$ \begin{align*} y & \leq h\\ x & \leq ut \end{align*} $$ ‏$x$ و $y$ را بر حسب $t$ بیابید.

Comments

@mirsmaili مطمئن هستید برابری‌ها درست نوشته شده‌اند؟ زمانیکه $t=0$ مخرج کسر برابری نخست صفر می‌شود پس $y'_x$ در $t=0$ تعریف‌نشده می‌شود.
من برای حل چنین پرسشی از رابطهٔ $y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$ بر روی بازه‌هایی که $x'_t\neq 0$ استفاده می‌کنم. پس از جایگذاری و از بین بردن مخرج‌ها با ضرب طرفین برابری در عبارت مناسب به دو پاسخ می‌رسیم. یکی $x(t)=c_1,y(t)=c_2$ که با شرط‌های اولیهٔ شما یعنی مکان جسم شما در طی زمان ثابت و در مبدأ مختصات صفحه است اما این پاسخ با برابری دوم دستگاه اصلی در پرسش تناقض می‌سازد. پاسخ دوم شامل شکل پیچیده‌ای دارد (بوسیلهٔ نرم‌افزار Maple محاسبه شده‌است) که اگر شرایط اولیهٔ شما را جایگذاری کنیم به $h=0$ می‌رسیم که تناقض با فرض $h$ عددی ثابت مثبت دلخواه بودن دارد.

---

@AmirHosein
ممنون از وقتی که گذاشتید و زحمتی که کشیدید.
بله در $t=0$ مقدار $y'_x$ تعریف نشده‌ست (اصطلاحاً مثبت بی‌نهایت). شاید بهتر بود جای $x$ و $y$ رو با هم عوض می‌کردم که «این مقدار» معکوس بشه (صفر).
این دستگاه از حل یه مسئله فیزیک به دست اومده و بنابراین انتظار می‌ره حداقل یک جواب داشته باشه. مگر این‌که اون‌جا اشتباهی رخ داده باشه. اون مسئله فیزیکی این‌جا مطرح شده:
https://math.irancircle.com/20854/تعقیب-و-گریز-یوزپلنگ-و-آهو
شکل و شمایل نمودار $x,y$ باید چیزی شبیه همون تصویری باشه که اون‌جا قرار داده شده (خط‌چین قرمز).

---

@AmirHosein
اوه ببخشید! الان و با توجه به دیدگاه شما به معادلات شک کردم. رفتم که برای اطمینان دوباره اونا رو از روی مسئله اصلی به دست بیارم که متوجه شدم بله … یه جا $dx$ و $dt$ رو جابه‌جا نوشتم!!
با عرض پوزش!
ویرایش و اصلاح شد.

---

@AmirHosein
دو شرط کمکی هم به مسئله اضافه شد.