حل معادله دیفرانسیل $\frac{dy}{dx } =x \frac{ d^{2} y}{ dx^{2} } +ln(1+\frac{ d^{2} y}{ dx^{2} })$

Question

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید. $$\frac{dy}{dx } =x \frac{ d^{2} y}{ dx^{2} } +ln(1+\frac{ d^{2} y}{ dx^{2} })$$

Comments

یک دسته پاسخ برای این برابری‌دیفرانسیل (معادله‌دیفرانسیل) به شکل $y=x^2+\big(\ln(3)\big)x+c$ می‌باشد.

Answer 1

$u = \frac{dy}{dx} = y' \Rightarrow u' = \frac{d^2y}{dx^2} = y' '$

$ \Rightarrow \frac{dy}{dx} =x \frac{d^2y}{dx^2} +(1+ \frac{d^2y}{dx^2} ) \Rightarrow u=x u'+Ln(1+ u' )$

حالا اگر از طرفین نسبت به $x$ مشتق بگیریم:

$ u' =1 u' +x u' ' + \frac{ u' ' }{1+ u' } \Rightarrow u' '(x+ \frac{1}{1+ u' } )=0 \Rightarrow u' ' =0 \vee x+ \frac{1}{1+ u' } =0$

$1) if u' '=0 \Rightarrow u=C_1x+C_2 ,C_1,C_2 \in R\Rightarrow y=Ax^2+Bx+C,A,B,C \in R$

$2) if x+ \frac{1}{1+ u' } =0 \Rightarrow u' =-\frac{1}{x} -1 \Rightarrow u=-Ln | x | -x+D,D \in R$

$ \Rightarrow y=-xLn | x | -x- \frac{1}{2} x^2+Dx+E,D,E \in R$

$ \Rightarrow y=-xL | x| +\frac{1}{2} x^2+Fx+G,F,G \in R$

$ \Box $