حل معادله دیفرانسیل $x(x^2-1) y'+x^2-(x^2-1)y-y^2=0 \quad , \quad \Phi (x)=x^2 $

Question

$$x(x^2-1) y'+x^2-(x^2-1)y-y^2=0 \quad , \quad \Phi (x)=x^2 $$

Answer 1

نمی‌دانم چرا پاسخ خاص‌تان را $x^2$ گرفته‌اید. البته که در برابری‌دیفرانسیل‌تان (معادله‌دیفرانسیل‌تان) صدق می‌کند ولی چیزی نیست که تنها با یک نگاه به ضابطه به ذهن‌تان برسد. اگر بخواهیم تنها با نگاه به ضابطه یک پاسخ خاص معرفی کنیم، $x$ را داریم. دلیل این است که بدون اینکه به داخل پرانتز‌ها یعنی $(x^2-1)$ توجه کنیم، یک عدد $x^2$ داریم یک عدد $y^2$، یک عدد $x(\ldots)$ داریم یک عدد $x(\ldots)y'$. بعلاوه دو به دو ناهمعلامت هستند پس چه چیزی به جای $y$ بگذاریم که با هم خط زده‌شوند؟ $x$. بدون هیچ محاسبه‌ای تنها با یک نگاه این پاسخ خاص جدید را داریم. من با این پاسخ خاص پیش می‌روم.

چون یک مشتق مرتبهٔ یک و یک متغیره دارم، انتظارم این است که بتوانم پاسخ برابری‌دیفرانسیل را با یک ثابت ارائه کنم. نخست $y(x)=x+c$ را آزمودم. ولی چیز مفیدی به من نداد. گام پسین $y(x)=c(x)x$ را آزمودم. محاسبات به شکل زیر هستند (به یاد آورید که مشتق $arc\tanh(x)$ برابر بود با $\frac{1}{1-x^2}$). $$\begin{array}{l} x(x^2-1)(xc(x))’+x^2-(x^2-1)xc(x)-(xc(x))^2=0\\ x(x^2-1)xc’(x)+x(x^2-1)x(x)+x^2-x(x^2-1)c(x)-x^2c(x)^2=0\\ x^2((x^2-1)c’(x)-c(x)^2+1)=0\\ (x^2-1)c’(x)-c(x)^2+1=0\\ c’(x)=\frac{c(x)^2-1}{x^2-1}\\ \frac{dc(x)}{c(x)^2-1}=\frac{dx}{x^2-1}\\ -arc\tanh(-c(x))=-arc\tanh(-x)+c\\ -c(x)=\tanh(arc\tanh(-x)+c)\\ c(x)=-\tanh(arc\tanh(-x)+c) \end{array}$$ پس پاسخ نهایی برابر است با $$y(x)=-xtanh(arctanh(-x)+c)$$ اگر قرار دهید $c=0$ آنگاه به $y(x)=x^2$ نیز می‌رسید.

Answer 2

با سلام معادله فوق معادله ریکاتی بوده لذا برای حل آن باید از تغیر متغیر زیر استفاده کنیم. $ y=x^2 +(1/z) $ با جایگذاری رابطه فوق در معادله داریم: $x(1-x^2)z' +z (1-3x^2)=1 $ حل رابطه فوق هم که ساده بوده و برابر است با: $z=(1/(x(1-x^2)))(x+c)$ با جایگذاری رابطه فوق در رابطه اول (یعنی تغییر متغیر مفروض $ y=x^2 +(1/z) $ ) جواب بدست می آید.