Question

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید: $2 x^{3}ydy+( y^{2}-1)( x^{2} y^{2 }+ y^{2}-1)dx=0 $ نهایتا به $ c =\frac{1}{ x^{3} }+ \frac{1}{x} ( \frac{ y^{2} }{ y^{2}-1})$می‌رسیم.

Answer 1

قرار دهید:

$y^2-1= \frac{1}{z} \Rightarrow 2ydy=- \frac{1}{z^2} dz \Rightarrow - \frac{x^3}{z^2} dz=( \frac{x^2}{z^2} + \frac{x^2}{z} + \frac{1}{z^2} )dx$

$ \Rightarrow(x^2+x^2z+1)dx+(-x^3)dz=0$

حالال قرار دهید:

$M(x,y)=x^2+x^2z+1,N(x,y)=-x^3$

می خواهیم عامل انتگرال ساز را بیابیم و معادله را کامل کنیم:

$ \frac{ \frac{\partial M}{\partial z}- \frac{\partial N}{\partial x} }{N}= \frac{x^2+3x^2}{x^3}= \frac{4x^2}{-x^3}= \frac{-4}{x} $

بنابر این عامل انتگرال ساز اسز برابر است با:

$ \mu (x)=e^{ \int \frac{-4}{x}dx}=e^{-4Lnx}=(e^{Lnx})^{-4}=x^{-4}$

حالا اگر قرار دهیم $f(x,y)=E$ که $E$ ثابتی حقیقی است آنگاه:

$ \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{x^2+x^2z+1}{x^4}= \frac{1}{x^2} + \frac{z}{x^2} + \frac{1}{x^4}$

$ \Rightarrow f(x,z)= \frac{-1}{x} - \frac{z}{x} - \frac{1}{3x^2}+g(z)$

از طرفی دیگر باید:

$ \frac{\partial f}{\partial z}= \frac{-x^3}{x^4}= \frac{-1}{x} \Rightarrow 0- \frac{1}{x}-0- g' (z)=- \frac{1}{x}$

$ \Rightarrow g' (x)=0 \Rightarrow g=D,D \in R \Rightarrow \frac{-1}{x} - \frac{z}{x} - \frac{1}{3x^2}+D=E$

$\frac{1}{x} +\frac{z}{x} +\frac{1}{3x^2}=C,C \in R,y^2-1= \frac{1}{z} $

$ \Box $