به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
63 بازدید
در دانشگاه توسط s.j.sss (108 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط s.j.sss

سلام معادله زیر را چگونه میتوان حل کرد؟ با تشکر $$\bigg( \frac{y}{x} ln(lny) + \frac{2}{3}xy^4 \bigg)dx +\bigg ( \frac{lnx}{lny}x^2y^3 \bigg)dy = 0$$

توسط mdgi (824 امتیاز)
نمایش از نو قبل توسط mdgi
انگار به این راحتی نمیشه حلش کرد. کجا بوده این سوال؟
قبل توسط s.j.sss (108 امتیاز)
پایان ترم علم و صنعت
قبل توسط s.j.sss (108 امتیاز)
+1
ببخشید متوجه نمیشم
من چه ویرایشی کردم؟
قبل توسط mdgi (824 امتیاز)
قبلا نوشته بودید$\frac{\ln x}{\ln y}x^2y^3$ ولی الآن تغییر داده شده
قبل توسط s.j.sss (108 امتیاز)
من تغییر ندادم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
قبل توسط kazomano (2,368 امتیاز)

با توجه به شکل و شمایل سوال باید به دنبال عامل انتگرال ساز باشیم. بعد از کمی محاسبه (معادله کامل نیست)

$$ \frac{M_y-N_x}{-M}=-\frac{1}{y} $$

بنابراین عامل انتگرال ساز به صورت زیر است

$$ \mu(y)=e^{\int (-\frac{1}{y})dy}=\frac{1}{y} $$

با ضرب این عامل در طرفین معادله داریم $$ \bigg[\frac{1}{x}\ln(\ln y)+\frac{2}{3}xy^3\bigg]dx+\bigg[\frac{\ln x}{y\ln y}+x^2y^2\bigg]dy=0 \hspace{0.2cm}*$$

تابع پتانسیل به صورت زیر محاسبه می شود ( از $ N $ نسبت به $ y $ انتگرال گرفته شده است) $$ \phi (x,y)=\ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3 $$ پس * را می توان به صورت زیر نوشت $$ \frac{\partial}{\partial x}\big[\ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3\big]+\bigg(\frac{\partial}{\partial y}[\ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3]\bigg)\frac{dy}{dx}=0 $$

با استفاده از قاعده زنجیره ای تساوی بالا را می توان به صورت زیر نوشت $$ \frac{d}{dx}\big[\ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3\big]=0,\hspace{0.2cm} y=y(x) $$

با انتگرال گیری جواب به صورت زیر محاسبه می شود

$$ \ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3=C .$$
قبل توسط s.j.sss (108 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط s.j.sss
شما صورت سوال من رو ویرایش کردید؟
میشه بپرسم با چه اجازه ای؟

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...