به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
324 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط good4us (7,308 امتیاز)

از مجموعه اعداد صحیح $x,y,z$را چنان بیابید که درتساوی های $x+y+z=3, x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 $ صدق کنند.

تلاش خودم: مجموع دوتا را برحسب دیگری نوشتم وبا تغییر عبارت ها و جایگزینی در تساوی دیگر فقط به دو دسته جواب زیر رسیدم.

$(1,1,1) , (4,-5,4)$
توسط amir7788 (2,949 امتیاز)
+1
به خاطر تقارن مطمئنا  دو جواب زیر هم باید اضافه کنید
( 5-,4,4)
( 5,4,4- )
توسط good4us (7,308 امتیاز)
@amir7788 بله خیلی خوب

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (2,949 امتیاز)
انتخاب شده توسط good4us
 
بهترین پاسخ
  • از اتحاد زیر استفاده می کنیم

$$(x+y+z)^3=x^3 +y^3 +z^3 +3(x+y)(x+z)(y+z) $$

  • با استفاده از مفروضات داریم $$(x+y) (x+z) (y+z) =8$$ بنابراین $x+y$ یکی از مقسوم علیه های مثبت یا منفی 8 می باشد.حالت اول $${\color{red} {x+y= - 1}} \rightarrow z=4 $$ $$\qquad \rightarrow x^3 +y^3 =-61 $$ با استفاده از اتحاد زیر داریم $$(x+y) ^3=x^3 +y^3 +3xy(x+y) \Rightarrow {\color{red} {xy=-20}} $$
  • از مجموع و حاصل ضرب نتیجه می شود آن دو عدد 4 و 5- می باشد که با توجه به تقارن سه دسته جواب داریم یکی 5-و دو تای دیگر 4 می باشد.

    -حالت $x+y=2$ به طور متشابه بالا حل کنیم به جواب $x=y=z=1$ می رسیم.

  • حالت‌های دیگر بطور متشابه حل کنید به یکی از دو حالت بالا می رسیم یا حالتی که جواب ندارد در نهایت همان چهار جواب خواهد داشت.

توسط amir7788 (2,949 امتیاز)
+1
هنوز اثبات نشد که معادله $x^3 +y^3 +z^3 =3$ در مجموعه اعداد صحیح  غیر از چهار جواب بالا جوابی  دیگری دارد. به عنوان  «مسئله باز» مطرح است.
+1 امتیاز
توسط good4us (7,308 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us
$x+y=3-z , x^3+y^3=3-z^3$
$(3-z)^3-3(3-z)xy=3-z^3 \Rightarrow 27-27z+9z^2-3=3(3-z)xy $
$$xy= \frac{-3z(3-z)+8}{3-z} \Rightarrow xy=-3z+ \frac{8}{\color{blue}{3-z}} $$

به این ترتیب باید $\color{blue}{3-z}$ را مساوی یکی از مقسوم علیه های صحیح 8 قرار دهیم و با توجه به مشخص شدن $z$ و حالات مختلف $xوy$ فقط چهار سه تایی از اعدادصحیح برای$xوyوz$ به دست می آید

$\color{red}{(4,-5,4) ,(4,4,-5),(-5,4,4),(1,1,1)} $

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...