$x,y,z$ از مجموعه اعداد صحیح را بیابید که درتساوی های $x+y+z=3, x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 $ صدق کنند

Question

از مجموعه اعداد صحیح $x,y,z$را چنان بیابید که درتساوی های $x+y+z=3, x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 $ صدق کنند.

تلاش خودم: مجموع دوتا را برحسب دیگری نوشتم وبا تغییر عبارت ها و جایگزینی در تساوی دیگر فقط به دو دسته جواب زیر رسیدم.

$(1,1,1) , (4,-5,4)$

Comments

به خاطر تقارن مطمئنا  دو جواب زیر هم باید اضافه کنید
( 5-,4,4)
( 5,4,4- )

---

@amir7788 بله خیلی خوب

Answer 1

• از اتحاد زیر استفاده می کنیم

$$(x+y+z)^3=x^3 +y^3 +z^3 +3(x+y)(x+z)(y+z) $$

• با استفاده از مفروضات داریم $$(x+y) (x+z) (y+z) =8$$ بنابراین $x+y$ یکی از مقسوم علیه های مثبت یا منفی 8 می باشد.حالت اول $${\color{red} {x+y= - 1}} \rightarrow z=4 $$ $$\qquad \rightarrow x^3 +y^3 =-61 $$ با استفاده از اتحاد زیر داریم $$(x+y) ^3=x^3 +y^3 +3xy(x+y) \Rightarrow {\color{red} {xy=-20}} $$

• از مجموع و حاصل ضرب نتیجه می شود آن دو عدد 4 و 5- می باشد که با توجه به تقارن سه دسته جواب داریم یکی 5-و دو تای دیگر 4 می باشد.

  -حالت $x+y=2$ به طور متشابه بالا حل کنیم به جواب $x=y=z=1$ می رسیم.

• حالت‌های دیگر بطور متشابه حل کنید به یکی از دو حالت بالا می رسیم یا حالتی که جواب ندارد در نهایت همان چهار جواب خواهد داشت.

Comments

هنوز اثبات نشد که معادله $x^3 +y^3 +z^3 =3$ در مجموعه اعداد صحیح  غیر از چهار جواب بالا جوابی  دیگری دارد. به عنوان  «مسئله باز» مطرح است.

Answer 2

$x+y=3-z , x^3+y^3=3-z^3$

$(3-z)^3-3(3-z)xy=3-z^3 \Rightarrow 27-27z+9z^2-3=3(3-z)xy $

$$xy= \frac{-3z(3-z)+8}{3-z} \Rightarrow xy=-3z+ \frac{8}{\color{blue}{3-z}} $$

به این ترتیب باید $\color{blue}{3-z}$ را مساوی یکی از مقسوم علیه های صحیح 8 قرار دهیم و با توجه به مشخص شدن $z$ و حالات مختلف $xوy$ فقط چهار سه تایی از اعدادصحیح برای$xوyوz$ به دست می آید

$\color{red}{(4,-5,4) ,(4,4,-5),(-5,4,4),(1,1,1)} $