دوتایی های صحیح $(m,n)$ای را بیابید که در $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn}=\frac{1}{4}$ صدق می کنند.

Question

مجموعهٔ مقادیر صحیح $m$ و $n$ که در معادله زیر صدق می‌کنند را بدست آورید.

$$ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{mn} = \frac{1}{4} $$

Answer 1

باسلام.

معادله فوق را میتوان به شکل زیر باز نویسی کرد :

$ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{mn} = \frac{1}{4} \Longrightarrow 4m +4n+4=mn \Longrightarrow mn-4m-4n-4=0 $ $ \Longrightarrow mn-4m-4n+16=20 \Longrightarrow (m-4)(n-4)=20$

$m-4 = 1,n-4=20\Longrightarrow m =5,n=24$

$m-4 = 2,n-4=10\Longrightarrow m =6,n=14$

$m-4 = 4,n-4=5\Longrightarrow m =8,n=9$

$m-4 = -1,n-4=-20\Longrightarrow m =3,n=-16$

$m-4 = -2,n-4=-10\Longrightarrow m =2,n=-6$

$m-4 = -5,n-4=-4\Longrightarrow m =-1,n=0$

که حالت آخری به علت بی معنی شدن کسر با مخرج $0$ غیر ممکن است .

$(5,24),(6,14),(8,9),(24,5),(14,6),(9,8) ,(3,-16),(2,-6),(-6,2),(-16,3)$

Comments

موضوعی دیگر نیز که قابل توجه است این است که در سوال زوج مرتب $(m,n)$ خواسته شده است.
شما برای مثال وقتی نوشتید زوج مرتب $(5,24)$ باید زوج مرتب $(24,5)$ رو هم نتیجه بگیرید.

---

باسلام ، حق باشماست ، اصلاح شد .

---

الان روش حلتون کامل است. درود بر شما

---

کاملا درست میفرمایید

---

@amir-mahdi اگر پاسخ دارای اشتباه است یا در آن ابهام دارید در قالب دیدگاه در زیرش بنویسید و گر نه تیک تأیید سمت راستش را بزنید. اگر چند پاسخ درست دریافت کرده‌اید، آنگاه برای پاسخی که به نظرتان بهتر است تیک تائید را بزنید و به هر پاسخ مفیدی می‌توانید امتیاز مثبت بدهید. من در این مورد به جای شما تیک تأیید را زدم.